Plus de colles à partir de la semaine prochaine !
Devoir informatique
Extremums. Point critiques, CS d’extremum sur un ouvert pour les fonctions de classe C^1
exercice(s) :
Classe C^2, CNS d’extremums lorsque la matrice Hessienne est définie positive ou définie négative.
exercice(s) :
Dérivation
exercice(s) :
Notes de cours : ch14_Cdiff
Documents distribués : TD td14_Cdiff
Programme de colles 22, du 24 au 28 mars 2025 : 22_prog_couplesva_thelimite
Inégalité de Markov.
exercice(s) : 13
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
exercice(s) : 15, 17
Correction du DS 6
exercice(s) : 16
Chapitre XIV Calcul différentiel
Fonctions de plusieurs variables : fonctions dérivées partielles, classe C^1, DL_1 de la variable vectorielle, Vecteur gradient.
Dérivées partielles de fonctions composées,exemples physiques (cdv polaires, lien avec EDP sur des exemples).
exercice(s) :
Notes de cours : ch14_Cdiff
Documents distribués : TD td14_Cdiff
Programme de colles 21, du 17 au 21 mars 2025 : 21_prog_topo_couplesva
Lois conditionnelles. Indépendance. Propriété de l’espérance d’un produit. Cas d’une fonction génératrice de somme de variables indépendantes.
exercice(s) : 1
Variance d’une somme, covariance
exercice(s) : 5, 10
Suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes. Lemme des coalitions.
exercice(s) : 6
Variable centrée, variable réduite.
exercice(s) : 6(fin)
Notes de cours :ch13_couples_suites_va
Documents distribués : TD td13_couples_suites_va
Programme de colles, semaine du 10 au 14 mars 2025 : 20_prog_va_topo
Ouverts. Continuité d’une fonction de plusieurs variables. Exemples, simulation. Propriétés. Fonctions lipscitziennes. Les fonctions polynomiales (de plusieurss variaables) sont continues. Composées de fonctions continues.
exercice(s) : 11, 12
Caractérisation des ouverts (resp. des fermés) lorsque ce sont des images réciproques d’ouverts (resp. fermées)
exercice(s) : 4, 9
exercice(s) : 17, 18, 27
Chapitre XIII Couples et suites de variables aléatoires
Couples de variables aléatoires (discrètes). Loi conjointe, lois marginales.
exercice(s) :
Notes de cours : ch12_EVN_lim_cont
Documents distribués : TD td12_EVN_lim_cont
Programme de colles, semaine du 03 au 07 mars 2025 : 19_prog_va_topo
Devoir Surveillé LV1
exercice(s) : révisions séries de fonctions
Variance de aX+b. Interprétations statistiques de la moyenne et de la variance pour des moyennes empiriques.
Chapitre XII Espaces vectoriels normés, limites, continuité. Eléments de Topologie.
Introduction : rappels de PCSI sur les suites réelles ou complexes, les fonctions de la variable réelle. Notion de distance pour quantifier la notion de limite d’une suite réelle ou vectorielle. Notion de distance pour quantifier la notion de continuité pour une fonction entre espaces vectoriels normés.
Normes usuelles sur R^n : norme 1, norme 2, norme infinie; Norme sur $M_n(R)$.
Normes équivalentes. En dimension finie toutes les normes sont équivalentes. Boules ouvertes, fermées, dessins pour les normes usuelles sur R^2 ou R^3. Boule ouverte, boule fermée. Partie bornée.
exercice(s) : 1, 3.1, 8
Suite vectorielle bornée, fonction bornée (entre espaces vectoriels). Limite d’une suite vectorielle, propriétés usuelles.
exercice(s) : 20, 7, 6
Notes de cours : ch12_EVN_lim_cont
Documents distribués : TD td12_EVN_lim_cont
Programme de colles : pas de colles la semaine de la rentrée des vacances !
Espérance, théorème de transfert.
exercice(s) : 1
Propriétés de l’espérance (positivité, croissance, linéarité). Fonctions génératrices, calculs d’espérance.
exercice(s) : 4
Devoir Surveillé
Variance d’une variable aléatoire discrète. Utilisation de la fonction génératrice pour calculer les espérances et les variances. Variances des variables aléatoires usuelles. Ecart-type.
exercice(s) : 7
Notes de cours : ch_11_var_fonctgene
Documents distribués : TD : td_11_var_fonctgene
Programme de colles de la semaine du 03/02 au 07/02 : 18_prog_endsym_va
Projecteurs orthogonaux
exercice(s) : 6c
Un projecteur est orthogonal si et seulement si il est auto-adjoint
exercice(s) : 19, 24, 21, 17
Chapitre XI Variables aléatoires, fonctions génératrices
Formalisme des variables aléatoires, généralisation aux v.a. à valeurs dans un ensemble dénombrable des v.a. vues en PCSI
exercice(s) : 4, 1
Loi usuelles pour une v.a. : de Bernoulli, binomiale, uniforme, de Poisson, géométrique. Expériences aléatoires.
exercice(s) :
Notes de cours : ch_11_var_fonctgene
Documents distribués : TD : td_11_var_fonctgene
Programme de colles de la semaine du 27/01 au 31/01 : 17_prog_isom_endsym
Chapitre X Isométries des espaces euclidiens
Classification des isométries planes. Rotations, matrices de rotation.
exercice(s) : 9
Endomorphismes auto-adjoints, matrices dans une base orthonormée d’un auto-adjoint
exercice(s) : 22
Théorème spectral pour les endomorphismes auto-adjoints ou les matrices symétriques réelles
exercice(s) : 16,14, 6a
Auto-adjoints positifs, définis positifs, matrices
exercice(s) : 6b
Notes de cours : ch10_eucl_auto-adjoints
Documents distribués : TD : td10_eucl_auto-adjoints
Programme de colles de la semaine du 20/01 au 24/01 : 16_prog_iparam_eucl
Chapitre X Isométries des espaces euclidiens
Rappels de PCSI : produits scalaires, espaces euclidien. Norme euclidienne, distance euclidienne. Base orthonormale. Théorème de projection sur un sous-espace vectoriel muni d’une base orthonormée; Algorithme de Gram-Schmidt.Orthogonal d’un s.-e.v., somme directe, cas de la dimension finie. Isométries.
exercice(s) : 1
Isométries et bases orthonormées. Propriétés des isométries.
exercice(s) : 2
Matrices orthogonales. Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal.
exercice(s) : 5, 13
Stabilité d’un se v par une isométrie, de son orthogonal
exercice(s) : 15, 3,4,7
Notes de cours : ch10_eucl_auto-adjoints
Documents distribués : TD : td10_eucl_auto-adjoints
Programme de colles de la semaine du 13/01 au 17/01 : 15_prog_probas_iparam
Chapitre IX Intégrales à paramètre
Exemples d’intégrales à paramètre : la fonction Gamma, transformée de Laplace, transformée de Fourier. Enoncé du théorème de continuité d’une intégrale à paramètre. Application à la fonction $latex \Gamma:x\longmapsto\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}\ \mathrm{d}t$
exercice(s) : à chercher pour mardi : exercice 1
Démonstration du théorème de continuité d’une intégrale à paramètre. Théorème de « convergence dominée à paramètre continu » pour une limite en une borne de la fonction définie par une intégrale à paramètre.
exercice(s) : 1, 6
Dérivation d’une intégrale à paramètre. Exemple de la fonction $\Gamma$.
Dérivations successives terme à terme.
exercice(s) : 7, 8, 14
exercice(s) : 10, 9
