Catégorie : Mathématiques PC 2024-2025

Programme de colles de la semaine du 03/02 au 07/02 : 18_prog_endsym_va

Projecteurs orthogonaux

exercice(s) : 6c

Un projecteur est orthogonal si et seulement si il est auto-adjoint

exercice(s) : 19, 24, 21, 17

Chapitre XI Variables aléatoires, fonctions génératrices

Formalisme des variables aléatoires, généralisation aux v.a. à valeurs dans un ensemble dénombrable des v.a. vues en PCSI

exercice(s) : 4, 1

Loi usuelles pour une v.a. : de Bernoulli, binomiale, uniforme, de Poisson, géométrique. Expériences aléatoires.

exercice(s) :

Notes de cours : ch_11_var_fonctgene

Documents distribués : TD : td_11_var_fonctgene

Programme de colles de la semaine du 27/01 au 31/01 : 17_prog_isom_endsym

Chapitre X Isométries des espaces euclidiens

Classification des isométries planes. Rotations, matrices de rotation.

exercice(s) : 9

Endomorphismes auto-adjoints, matrices dans une base orthonormée d’un auto-adjoint

exercice(s) : 22

Théorème spectral pour les endomorphismes auto-adjoints ou les matrices symétriques réelles

exercice(s) : 16,14, 6a

Auto-adjoints positifs, définis positifs, matrices

exercice(s) : 6b

Notes de cours : ch10_eucl_auto-adjoints

Documents distribués : TD : td10_eucl_auto-adjoints

Programme de colles de la semaine du 20/01 au 24/01 : 16_prog_iparam_eucl

Chapitre X Isométries des espaces euclidiens

Rappels de PCSI : produits scalaires, espaces euclidien. Norme euclidienne, distance euclidienne. Base orthonormale. Théorème de projection sur un sous-espace vectoriel muni d’une base orthonormée; Algorithme de Gram-Schmidt.Orthogonal d’un s.-e.v., somme directe, cas de la dimension finie. Isométries.

exercice(s) : 1

Isométries et bases orthonormées. Propriétés des isométries.

exercice(s) : 2

Matrices orthogonales. Groupe orthogonal, groupe spécial orthogonal.

exercice(s) : 5, 13

Stabilité d’un se v par une isométrie, de son orthogonal

exercice(s) : 15, 3,4,7

Notes de cours : ch10_eucl_auto-adjoints

Documents distribués : TD : td10_eucl_auto-adjoints

Programme de colles de la semaine du 06/01 au 10/01 : 14_prog_DSE_probas

Chapitre VIII Lois de probabilités discrètes

Rappels de PCSI : réunion, intersection, évènement contraire.

Tribu des évènements, loi de probabilités. Cas dénombrable, sigma-additivité, exemples. Evènement contraire, probabilités conditionnelles. Formule des probabilités composées.

exercice(s) :

Théorème de continuité croissante, de continuité décroissante.
exercice(s) : 3

Famille d’évèneemnts mutuellement indépendants. Système complet d’évènements, formule des probabilités totales. Formule de Bayes.

exercice(s) : 2, 6, 5, 12

loi géométrique : loi du nombre de réalisations nécéssaires à l’obtention d’un premier succès lors de la répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même loi.

exercice(s) : 10, 9, 13

Notes de cours :

ch_09_probas_discretes

Documents distribués : TD :

td_08_probas_discretes

Programme de colles de la semaine du 15/12 au 20/12 : 13_prog_DSE

Chapitre VII Séries entières(fin)

Primitivation terme à terme. Dérivation terme à terme, dérivations successives.

exercice(s) :

Unicité du DSE. DSE de référence.
exercice(s) : 4, 9

Recherche de solutions DSE d’une équation différentielle

exercice(s) : 12, 11

Produit de Cauchy de DSE

exercice(s) : 23, 20

Notes de cours :

ch07_DSE

Documents distribués : TD :

td07_DSE

Programme de colles de la semaine du 09/12 au 13/12 : 12_prog_red

Chapitre VII Séries entières

Notations des séries entières de la variable complexe, de la variable réelle. Vocabulaire.

Lemme d’Abel, intervalle [latex]\{r\ge 0;\ (a_n r^n) \textrm{ bornée}\}[/latex]. Rayon de convergence, exemples.

exercice(s) : 1a)

Disque ouvert de convergence. Séries entières de référence : géométrique, exponentielle. Détermination pratique du rayon de convergence.
exercice(s) : 1c)

Règle de d’Alembert des séries entières, comparaisons de rayons de convergence.

exercice(s) : 8, 13

Séries entières de la variable réelle ; intervalle ouvert de convergence, convergence normale sur les segments de l’ouvert de convergence.

exercice(s) : 16

Notes de cours :

ch07_DSE

Documents distribués : TD :

td07_DSE

DS III le samedi 06/12 : DS3_M_PC_serfonct

Programme de colles de la semaine du 02/12 au 06/12 : 11_prog_red

Chapitre VI Réduction (suite et fin)

Applications de la réduction : calculs des puissances dans le cas diagonalisable, exemple de système de suites récurrentes linéaires mis sous forme matricielle, lien avec les suites vectorielles données par une relation de récurrence linéaire.
exercice(s) : 20(fin), 9, 6

Trigonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée.  CNS de trigonalisabilité.
exercice(s) : 13

Cas de diagonalisations simultanées, racines carrées d’un endomorphisme ou d’une matrice.

exercice(s) : 18, 17

introduction aux séries entières

exercice(s) :

Notes de cours :

ch06_reduc

Documents distribués : TD :

td06_reduc

DM 09 : dm9_sep

Programme de colles de la semaine du 25/11 au 29/11 :  10_prog_red

Chapitre VI Réduction (suite)

Théorème de Cayley-Hamilton.Les valeurs propres sont nécéssairement racines d’un polynôme annulateur.

Exemples de matrices, recherche des valeurs propres, vecteurs propres, formules de passage.

exercice(s) : 15,

Diagonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée. Exemples.
exercice(s) : 14, 20, 13

Les sous-espaces propres sont en somme directe. CS de diagonalisabilité, CNS de diagonalisabilité.

exercice(s) : 4, 5, 16

Applications de la réduction

exercice(s) : 18, 21, 22 ?

Notes de cours :

ch06_reduc

Documents distribués : TD :

td06_reduc

DM 09 : dm9_sep

Programme de colles de la semaine du 18/11 au 22/11 : 09_prog_serfonct_red

Chapitre VI Réduction des endomorphismes et matrices

Rappels de PCSI : endomorphismes, écriture matricielle dans une base, formules de passage. Endomorphisme canoniquement associé à une matrice carrée.

Sous-espaces stables, droites stables.

exercice(s) :

Eléments propres.
exercice(s) :

Polynôme caractéristique sous forme factorisée et détermination des valeurs propres.

exercice(s) :

Notes de cours :

ch06_reduc

Documents distribués : TD :

td06_reduc

DM 09 : dm9_sep