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1 – Couple de mutuelle et règle du flux maximal
- Déterminer l’inductance mutuelle M entre les deux circuits.
- Donner le champ magnétique créé par le solénoïde. Déterminer le flux de ce champ sur le cadre.
- Quelle est la direction du champ créé par le solénoïde ? Quelle est celle de la surface élémentaire du cadre ?
- Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?
- On note L et L', les inductances propres respectives de la spire et du solénoïde. Donner l’énergie électromagnétique \mathcal{E}_{em} stockée dans ces deux circuits.
- Le solénoïde étant fixe, calculer le couple électromagnétique \Gamma=\left(\frac{\partial \mathcal{E}_{em}}{\partial \theta}\right)_{I,I'} que subit la spire.
- La règle du flux maximal stipule que les actions électromagnétiques agissent sur un circuit mobile de telle sorte qu’il soit traversé par un flux maximal. Vérifier que le système formé par la spire et le solénoïde suit bien cette règle.
- Vers quelle position d’équilibre le couple électromagnétique ramène-t-il le cadre ? Pour quelle position du cadre le flux est-il maximal ?
2 – Étude d’un moteur synchrone
- Déterminer la fréquence des tension statoriques quand n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}.
- Écrire la condition de synchrone (donnée dans l’énoncé). Attention aux unités.
- Représenter le diagramme vectoriel relatif à l’essai n°2. La résistance R n’étant pas négligée, en déduire la valeur numérique de L.
- Que vaut le courant dans l’essai n°1 ? Écrire la loi des mailles pour l’essai n°1 et en déduire la force contre-électromotrice.
- Écrire la loi des mailles pour l’essai n°2 en utilisant la valeur de \Phi donnée.
- Écrire le théorème de Pythagore dans le triangle apparaissant sur le diagramme de Fresnel.
- La valeur efficace de la force contre-électromotrice E a pour expression E=\Phi_0\omega. Quelle est l’unité de la constante \Phi_0 dans le système SI ? Que représente-t-elle ? De quels paramètres de la machine dépend-elle ? Montrer que E=A\Omega, où A est une constante dont on précisera l’expression et la valeur numérique.
- Utiliser la condition de synchronisme.
- Dans toute la suite, on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. Tracer un diagramme vectoriel représentatif d’un point de fonctionnement quelconque dans le cas où 0\lt\Psi\lt\pi/2. En déduire une relation entre V, E, \phi et \Psi.
- Écrire la loi des mailles dans un circuit statorique puis la représenter sur un diagramme de Fresnel. Représenter les angles \phi et \Psi sur le diagramme.
- Relier géométriquement les projections de \underline{V} et \underline{E} sur l’axe des abscisses. En déduire une relation mathématique en utilisant la trigonométrie.
- Déterminer l’expression de la puissance électrique P_a absorbée par le moteur en fonction de V, I et \phi, puis en fonction de E, I et \Psi. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique P_a et la puissance mécanique électromagnétique P_m reçue par le rotor ?
- Attention, il y a deux phases à prendre en compte.
- Rappel des hypothèses : pertes Joules négligeables.
- Exprimer le couple électromécanique C développé par le moteur en fonction de A, I et \Psi. Pour une intensité efficace I donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine ? De quelle unique variable le couple dépend-il alors ? À quelle autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ?
- Exprimer la puissance mécanique en fonction du couple et de la vitesse angulaire puis la relier avec l’expression de la question précédente.
- Pour quelle valeur de \Psi le couple est-il maximal ?
- On se place sur un point de fonctionnement à \Psi⁼0, I=I_N et n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}. Que vaut le moment du couple C développé par le moteur ? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes \underline{E}, \underline{V} et \underline{I}. En déduire les expressions numériques de V et \phi. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes.
- Représenter le diagramme de Fresnel et utiliser la trigonométrie pour déterminer \phi puis V.
3 – Alternateur d’une centrale hydroélectrique
- Calculer l’intensité du courant d’induit nominal.
- Exprimer la puissance apparente nominale en fonction de la tension nominale et du courant nominal.
- Calculer la résistance synchrone X=L\omega de chaque enroulement.
- Utiliser le courant de court-circuit.
- Représenter le circuit équivalent d’une phase en court-circuit.
- Représenter le diagramme de Fresnel associé à la loi des mailles pour un induit court-circuité.
- Utiliser le théorème de Pythagore.
- Fonctionnement en charge. L’intensité du courant d’excitation vaut I_e=\SI{44}{A}, la tension efficace aux bornes d’une phase est \SI{8.64}{kV} et le facteur de puissance du réseau vaut \cos(\phi)=0.9 arrière (charge inductive). Représenter le schéma électrique d’une phase en négligeant la résistance R.
- Représenter la loi des mailles sur un diagramme de Fresnel. Montrer que (V\cos(\phi))^2+(V\sin(\phi)+IX)^2=E^2. En déduire l’intensité efficace du courant dans une phase statorique.
- Placer l’angle \phi sur le diagramme.
- Projeter jX\underline{X} verticalement et horizontalement.
- Calculer la puissance fournie au réseau et le rendement de l’alternateur sachant que l’ensemble des pertes mécaniques, ferromagnétiques et d’excitation valent P_p=\SI{2.4}{MW}.
- Exprimer la puissance fournie au réseau par l’alternateur en fonction de V, I et \cos(\phi). Attention, on étudie un alternateur diphasé.
- Comment s’exprimer les pertes joules statoriques ?
4 – Détermination des paramètres d’un moteur synchrone
- En régime permanent de rotation, quelle est la relation entre la vitesse de rotation du rotor \Omega et \omega ?
- Rappeler le schéma électrique d’une phase en fonctionnement moteur et en fonctionnement générateur.
- La valeur efficace de la force contre-électromotrice s’écrit sous la forme E=\Phi\omega, où \omega désigne la vitesse de rotation du rotor. Que représente la grandeur \Phi ? De quels paramètres dépend-elle ?
- Afin de mesurer \Phi, on réalise un essai en circuit ouvert, le rotor de la machine synchrone étant entrainé par un moteur auxiliaire à la vitesse de \SI{6.0e3}{tr/min}, on mesure la tension efficace aux bornes d’une phase égale à \SI{1.2e2}{V}. Calculer la valeur de \Phi.
- D’après la loi de Lenz-Faraday, quelle relation lie \underline{\Phi} à \underline{E} ?
- Relier la tension aux bornes de l’induit à la force contre-électromotrice pour cet essai.
- Pour mesurer la valeur de l’inductance d’une phase, on réalise un essai en court-circuit, le rotor étant toujours entrainé par le moteur auxiliaire à \SI{6.0e3}{tr/min}. Le dipôle de sortie d’une phase étant court-circuité, la mesure de l’intensité efficace du courant de court-circuit dans une phase donne la valeur I_{cc}=\SI{1.2e2}{A}. Calculer l’inductance L d’une phase.
- Grâce à une loi des mailles, relier \underline{E} à L, \omega et \underline{I} pour cet essai.
5 – DC motor lifts a mass
6 – Rendement d’une génératrice à courant continu
- Donner le champ magnétique créé par le solénoïde. Déterminer le flux de ce champ sur le cadre.
- Quelle est la direction du champ créé par le solénoïde ? Quelle est celle de la surface élémentaire du cadre ?
- Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?
- Vers quelle position d’équilibre le couple électromagnétique ramène-t-il le cadre ? Pour quelle position du cadre le flux est-il maximal ?
- Déterminer la fréquence des tension statoriques quand n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}.
- Écrire la condition de synchrone (donnée dans l’énoncé). Attention aux unités.
- Représenter le diagramme vectoriel relatif à l’essai n°2. La résistance R n’étant pas négligée, en déduire la valeur numérique de L.
- Que vaut le courant dans l’essai n°1 ? Écrire la loi des mailles pour l’essai n°1 et en déduire la force contre-électromotrice.
- Écrire la loi des mailles pour l’essai n°2 en utilisant la valeur de \Phi donnée.
- Écrire le théorème de Pythagore dans le triangle apparaissant sur le diagramme de Fresnel.
- La valeur efficace de la force contre-électromotrice E a pour expression E=\Phi_0\omega. Quelle est l’unité de la constante \Phi_0 dans le système SI ? Que représente-t-elle ? De quels paramètres de la machine dépend-elle ? Montrer que E=A\Omega, où A est une constante dont on précisera l’expression et la valeur numérique.
- Utiliser la condition de synchronisme.
- Dans toute la suite, on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. Tracer un diagramme vectoriel représentatif d’un point de fonctionnement quelconque dans le cas où 0\lt\Psi\lt\pi/2. En déduire une relation entre V, E, \phi et \Psi.
- Écrire la loi des mailles dans un circuit statorique puis la représenter sur un diagramme de Fresnel. Représenter les angles \phi et \Psi sur le diagramme.
- Relier géométriquement les projections de \underline{V} et \underline{E} sur l’axe des abscisses. En déduire une relation mathématique en utilisant la trigonométrie.
- Déterminer l’expression de la puissance électrique P_a absorbée par le moteur en fonction de V, I et \phi, puis en fonction de E, I et \Psi. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique P_a et la puissance mécanique électromagnétique P_m reçue par le rotor ?
- Attention, il y a deux phases à prendre en compte.
- Rappel des hypothèses : pertes Joules négligeables.
- Exprimer le couple électromécanique C développé par le moteur en fonction de A, I et \Psi. Pour une intensité efficace I donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine ? De quelle unique variable le couple dépend-il alors ? À quelle autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ?
- Exprimer la puissance mécanique en fonction du couple et de la vitesse angulaire puis la relier avec l’expression de la question précédente.
- Pour quelle valeur de \Psi le couple est-il maximal ?
- On se place sur un point de fonctionnement à \Psi⁼0, I=I_N et n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}. Que vaut le moment du couple C développé par le moteur ? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes \underline{E}, \underline{V} et \underline{I}. En déduire les expressions numériques de V et \phi. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes.
- Représenter le diagramme de Fresnel et utiliser la trigonométrie pour déterminer \phi puis V.
3 – Alternateur d’une centrale hydroélectrique
- Calculer l’intensité du courant d’induit nominal.
- Exprimer la puissance apparente nominale en fonction de la tension nominale et du courant nominal.
- Calculer la résistance synchrone X=L\omega de chaque enroulement.
- Utiliser le courant de court-circuit.
- Représenter le circuit équivalent d’une phase en court-circuit.
- Représenter le diagramme de Fresnel associé à la loi des mailles pour un induit court-circuité.
- Utiliser le théorème de Pythagore.
- Fonctionnement en charge. L’intensité du courant d’excitation vaut I_e=\SI{44}{A}, la tension efficace aux bornes d’une phase est \SI{8.64}{kV} et le facteur de puissance du réseau vaut \cos(\phi)=0.9 arrière (charge inductive). Représenter le schéma électrique d’une phase en négligeant la résistance R.
- Représenter la loi des mailles sur un diagramme de Fresnel. Montrer que (V\cos(\phi))^2+(V\sin(\phi)+IX)^2=E^2. En déduire l’intensité efficace du courant dans une phase statorique.
- Placer l’angle \phi sur le diagramme.
- Projeter jX\underline{X} verticalement et horizontalement.
- Calculer la puissance fournie au réseau et le rendement de l’alternateur sachant que l’ensemble des pertes mécaniques, ferromagnétiques et d’excitation valent P_p=\SI{2.4}{MW}.
- Exprimer la puissance fournie au réseau par l’alternateur en fonction de V, I et \cos(\phi). Attention, on étudie un alternateur diphasé.
- Comment s’exprimer les pertes joules statoriques ?
4 – Détermination des paramètres d’un moteur synchrone
- En régime permanent de rotation, quelle est la relation entre la vitesse de rotation du rotor \Omega et \omega ?
- Rappeler le schéma électrique d’une phase en fonctionnement moteur et en fonctionnement générateur.
- La valeur efficace de la force contre-électromotrice s’écrit sous la forme E=\Phi\omega, où \omega désigne la vitesse de rotation du rotor. Que représente la grandeur \Phi ? De quels paramètres dépend-elle ?
- Afin de mesurer \Phi, on réalise un essai en circuit ouvert, le rotor de la machine synchrone étant entrainé par un moteur auxiliaire à la vitesse de \SI{6.0e3}{tr/min}, on mesure la tension efficace aux bornes d’une phase égale à \SI{1.2e2}{V}. Calculer la valeur de \Phi.
- D’après la loi de Lenz-Faraday, quelle relation lie \underline{\Phi} à \underline{E} ?
- Relier la tension aux bornes de l’induit à la force contre-électromotrice pour cet essai.
- Pour mesurer la valeur de l’inductance d’une phase, on réalise un essai en court-circuit, le rotor étant toujours entrainé par le moteur auxiliaire à \SI{6.0e3}{tr/min}. Le dipôle de sortie d’une phase étant court-circuité, la mesure de l’intensité efficace du courant de court-circuit dans une phase donne la valeur I_{cc}=\SI{1.2e2}{A}. Calculer l’inductance L d’une phase.
- Grâce à une loi des mailles, relier \underline{E} à L, \omega et \underline{I} pour cet essai.
5 – DC motor lifts a mass
6 – Rendement d’une génératrice à courant continu
- Exprimer la puissance apparente nominale en fonction de la tension nominale et du courant nominal.
- Utiliser le courant de court-circuit.
- Représenter le circuit équivalent d’une phase en court-circuit.
- Représenter le diagramme de Fresnel associé à la loi des mailles pour un induit court-circuité.
- Utiliser le théorème de Pythagore.
- Placer l’angle \phi sur le diagramme.
- Projeter jX\underline{X} verticalement et horizontalement.
- Exprimer la puissance fournie au réseau par l’alternateur en fonction de V, I et \cos(\phi). Attention, on étudie un alternateur diphasé.
- Comment s’exprimer les pertes joules statoriques ?
- En régime permanent de rotation, quelle est la relation entre la vitesse de rotation du rotor \Omega et \omega ?
- Rappeler le schéma électrique d’une phase en fonctionnement moteur et en fonctionnement générateur.
- La valeur efficace de la force contre-électromotrice s’écrit sous la forme E=\Phi\omega, où \omega désigne la vitesse de rotation du rotor. Que représente la grandeur \Phi ? De quels paramètres dépend-elle ?
- Afin de mesurer \Phi, on réalise un essai en circuit ouvert, le rotor de la machine synchrone étant entrainé par un moteur auxiliaire à la vitesse de \SI{6.0e3}{tr/min}, on mesure la tension efficace aux bornes d’une phase égale à \SI{1.2e2}{V}. Calculer la valeur de \Phi.
- D’après la loi de Lenz-Faraday, quelle relation lie \underline{\Phi} à \underline{E} ?
- Relier la tension aux bornes de l’induit à la force contre-électromotrice pour cet essai.
- Pour mesurer la valeur de l’inductance d’une phase, on réalise un essai en court-circuit, le rotor étant toujours entrainé par le moteur auxiliaire à \SI{6.0e3}{tr/min}. Le dipôle de sortie d’une phase étant court-circuité, la mesure de l’intensité efficace du courant de court-circuit dans une phase donne la valeur I_{cc}=\SI{1.2e2}{A}. Calculer l’inductance L d’une phase.
- Grâce à une loi des mailles, relier \underline{E} à L, \omega et \underline{I} pour cet essai.