Phénomènes de transport 3 – Diffusion de particules

1 – Einstein relation and stability of isothermal atmosphere

1. Using the ideal gas law, ascertain the particule density [latex]n(z)[/latex].
   • Attention à ne pas confondre la quantité de matière et la densité particulaire, toutes deux notées fréquemment [latex]n[/latex].
2. Using Fick law, show that a diffusion phenomenon exists. Express the current density vector [latex]\vec{j}_\text{diff}[/latex].
3. The particules that make air are in motion at microscopic scale. The collisions between particules are modeled with a drag force [latex]\vec{f}=-\frac{m}{\tau}\vec{v}[/latex] that apply on an average particle. Make an inventory of the forces and deduce the limit speed [latex]\vec{v}[/latex] of an average particule. Deduce the current density vector [latex]\vec{j}_\text{mig}[/latex] due to the gravitation.
   • Le modèle proposé ressemble au modèle de Drude. Appliquer la loi de la quantité de mouvement en régime stationnaire.
   • Relier la vitesse au vecteur densité de courant de particules.
4. By making an inventory of the particules on a slice of atmosphere in a stationary state, express a relation between [latex]D[/latex], [latex]\tau[/latex], [latex]k_B[/latex], [latex]T[/latex] and [latex]m[/latex]. This relation is known as Einstein relation.
   • Faire un bilan de particules sur une tranche infinitésimale d’atmosphère. Quatre flux de particules y rentrent : du à la gravitation et du à la diffusion, en [latex]z[/latex] et en [latex]d+dz[/latex].

2 – Taille critique d’une bactérie aérobie

1. Rappeler la loi de Fick reliant le vecteur densité de courant particulaire [latex]\vec{j}=j(r)\vec{u_r}[/latex] à la densité particulaire [latex]n(r)[/latex].
2. Quelle est l’unité de [latex]D[/latex].
3. Établir l’équation de diffusion de particules en coordonnées sphériques.
   • Faire un bilan de particules sur un volume infinitésimal ou sur une boule creuse d’épaisseur infinitésimale.
4. Exprimer le nombre [latex]\phi(r)[/latex] de molécules de \ce{O2} qui traversent par unité de temps une sphère de rayon [latex]r[/latex] ([latex]r>R[/latex]) en fonction de [latex]j(r)[/latex] et de [latex]r[/latex]. Justifier que [latex]\phi[/latex] ne dépend pas du rayon [latex]r[/latex] de la sphère considérée.
5. Déterminer l’expression de la densité particulaire [latex]n(r)[/latex] en \ce{O2} dissous dans l’eau. On exprimera les deux constantes d’intégration en fonction de [latex]D[/latex], [latex]\phi[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex] et [latex]c_0[/latex]. En déduire la densité particulaire [latex]n_R[/latex] en surface de la bactérie, en [latex]r=R[/latex].
   • Résoudre l’équation de diffusion en régime stationnaire.
   • Déterminer les constantes en utilisant la densité particulaire à l’infini et le flux particulaire.
6. En étudiant la consommation en \ce{O2} de la bactérie pendant une durée [latex]dt[/latex], exprimer [latex]\phi[/latex] en fonction de [latex]a[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex], de la masse volumique [latex]\mu[/latex] de la bactérie et de son rayon [latex]R[/latex].
   • La consommation de [latex]\ce{O2}[/latex] de la bactérie est le flux particulaire d'[latex]\ce{O2}[/latex] arrivant à la bactérie.
7. En déduire l’expression de [latex]n_R[/latex]. Comment varie [latex]n_R[/latex] en fonction de [latex]R[/latex].
8. Quelle inégalité doit vérifier [latex]n_R[/latex] pour que la bactérie ne suffoque pas. En déduire l’expression du rayon critique [latex]R_c[/latex] d’une bactérie aérobie. Effectuer l’application pour [latex]a=\SI{2e-2}{mol.kg^{-1}.s^{-1}}[/latex]. Comparer ce résultat à la dimension caractéristique [latex]R=1[/latex] à [latex]\SI{10}{\mu m}[/latex] d’une bactérie réelle.
   • La densité particulaire ne peut pas être négative.

3 – Désintégration de l’uranium 235

1. En faisant un bilan de neutron sur une volume mésoscopique, démontrer l’équation fondamentale de la neutronique [latex display= »true »]\frac{\partial N}{\partial t}=-\divv\vec{j}+\frac{\nu-1}{\tau}N(x,y,z,t)[/latex]
   • Combien de neutrons sont captés durant [latex]dt[/latex] dans le volume considéré ? Combien sont émis ?
2. On considère une sphère de rayon [latex]R[/latex] d’uranium 235 et on suppose le problème à symétrie sphérique. On recherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme [latex]N(r,t) = \frac{f(t)g(r)}{r}[/latex]. Déterminer les équations vérifiées par [latex]f[/latex] et par [latex]g[/latex].
   • Il faut procéder par séparation des variables.
3. On prend pour condition aux limites [latex]N(r=R)=0[/latex]. Justifier.
4. Quelles sont les différentes formes de solution pour [latex]g(r)[/latex]. Lesquelles décrivent physiquement la réaction en chaine d’une bombe nucléire ? Résoudre l’équation différentielle sur [latex]g(r)[/latex].
   • Distinguer les cas sur le discriminent et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.
   • Une solution constamment nulle ne décrit pas une explosion nucléaire.
5. En déduire la solution de l’équation sur [latex]f(t)[/latex].
6. Sous quelle condition sur le rayon la réaction s’emballe-t-elle ?
7. Quelle masse minimale doit donc avoir une bombe nucléaire ?