Phénomènes de transport 4 – Fluide en écoulement

1 – Troposphère

1. Déterminer l’expression de la pression [latex]P[/latex] en fonction de l’altitude [latex]z[/latex], en fonction de la température [latex]T[/latex], de la masse molaire de l’air [latex]M_\text{air}[/latex], de la constante des gaz parfaits [latex]R[/latex] et de l’accélération de la pesanteur [latex]g[/latex]. On note [latex]P_0[/latex] la pression au niveau de la mer.
   • Relier la masse volumique à la pression grâce à l’équation d’état des gaz parfaits.
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
2. Montrer que [latex]70\%[/latex] de la masse totale de l’air se situe en dessous de [latex]\SI{10}{km}[/latex] dans ce modèle.
   • On considère un cylindre de section [latex]S[/latex] et de hauteur [latex]z[/latex]. Exprimer la masse contenue dans ce cylindre comme une intégrale.
   • On souhaite montrer que la masse contenue dans un cylindre de hauteur [latex]10\text{km}[/latex] est égale à [latex]70\%[/latex] de la masse contenue dans un cylindre de hauteur infinie.
3. Les capacités thermiques molaires de l’air sont [latex]C_V=\frac{5}{2}R[/latex] et [latex]C_P=\frac{7}{2} R[/latex]. Exprimer la valeur du coefficient [latex]\gamma[/latex].
4. Montrer que le produit [latex]T^xP^y[/latex] est constant pour une transformation réversible et adiabatique d’un gaz parfait. Exprimer [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
   • Utiliser la loi de Laplace et l’équation d’état des gaz parfaits.
5. En déduire la relation reliant [latex]\frac{dP}{P}[/latex] et [latex]\frac{dT}{T}[/latex].
   • Exprimer [latex]T[/latex] en fonction de [latex]P[/latex] et différentier l’expression obtenue.
6. Établir l’expression du gradient de température adiabatique [latex]\frac{dT}{dz}[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex], [latex]M[/latex], [latex]g[/latex] et [latex]R[/latex].
   • Utiliser la question précédente et l’équation fondamentale de l’hydrostatique.

2 – Lubrification

1. Calculer la valeur numérique de la réaction tangentielle.
   • Calculer la composante normale de la réaction puis utiliser la loi de Coulomb.
   • Projeter le théorème de la résultante cinétique sur l’axe verticale pour relier la réaction normale au poids.
2. Calculer la distance d’arrêt du mobile et faire l’application numérique.
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • Quel est le temps d’arrêt, c’est-à-dire le temps auquel la vitesse est nulle.
   • La distance d’arrêt correspond à la position du solide au temps d’arrêt.
3. Donner la valeur de la viscosité dynamique de l’eau.
4. Montrer que [latex]v(x,y)[/latex] est indépendant de [latex]x[/latex].
   • Utiliser un argument d’invariance.
   • Que signifie l’expression de l’énoncé « on néglige les effets de bord » ?
5. On admet que la vitesse s’écrit [latex]v(y)=ay+b[/latex]. Déterminer [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] en exploitant la description du problème.
   • Utiliser la condition d’adhérence en [latex]z=0[/latex] et [latex]z=e[/latex].
6. Donner l’expression de la force surfacique de cisaillement au sein de l’eau.
7. Exprimer la force de frottement à laquelle est soumis la pavé.
   • La force exercée sur le pavé et l’opposé de la force exercée par le pavé sur la couche supérieure de fluide.
8. On admet qu’en l’absence d’action de l’opérateur pour maintenir la vitesse constante, l’expression de la vitesse établie précédemment reste valable, mais avec [latex]a[/latex] fonction du temps. Que devient la distance d’arrêt du palet ?
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • La distance d’arrêt peut être définie comme la valeur maximale atteinte par la position.

3 – Distribution d’eau potable

1. Quel est l’ordre de grandeur de la pression [latex]P_e[/latex] qui peut être attendue au pied du château d’eau, en admettant que le débit de l’eau dans la canalisation soit suffisamment faible pour ne pas perturber la pression ?
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible.
2. Soit une conduite de longueur [latex]L = \SI{100}{m}[/latex] et de section [latex]S = \SI{1}{cm^2}[/latex] partant du pied de ce château d’eau. L’autre extrémité est à l’air libre. Quel débit peut-on attendre, en supposant \textit{a priori} l’écoulement laminaire ? Calculer la vitesse débitante [latex]U[/latex].
   • Utiliser la loi de Haggen-Poiseuille.
3. Calculer le nombre de Reynolds pour cet écoulement, et conclure.
4. En tenant compte du diagramme de Moody, dire si la vitesse débitante sera plus ou moins importante que celle calculée plus haut.

4 – Chute d’une bille dans un fluide

1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]v[/latex] et la résoudre.
   • Quelles sont les 3 forces qui s’exercent sur la bille ?
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
2. On mesure la vitesse [latex]v_{1s}[/latex] une seconde après avoir lâché la bille, sachant que le temps caractéristique du mouvement est [latex]\tau = \SI{6}{ms}[/latex]. On fait cela pour plusieurs billes, de rayons plus petits. La courbe ci jointe montre l’évolution de [latex]v_{1s}[/latex], en fonction du carré [latex]r^2[/latex] du rayon de la sphère. Justifier le positionnement des points expérimentaux. Comment en déduire [latex]\eta[/latex] ?
   • En comparant [latex]t[/latex] et [latex]\tau[/latex], dans quel régime se trouve-t-on ? Quelle est l’expression de la vitesse dans ce régime ?
   • Exprimer la masse de la bille en fonction de [latex]\rho[/latex] et de [latex]r[/latex].
3. Le nombre de Reynolds vaut [latex]Re = 0,1[/latex] pour la plus grosse des sphères. Justifier le modèle.
   • Le nombre de Reynolds croit-il ou décroit-il avec [latex]r[/latex] ?
   • Pour toutes les billes, l’écoulement est-il laminaire ou turbulent ?
4. Que représentent [latex]S[/latex] ? Quelle est l’équation différentielle vérifiée par [latex]v(t)[/latex] ?
   • [latex]S[/latex] n’est PAS la surface de la bille [latex]4\pi r^2[/latex].
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
5. Montrer l’existence d’une vitesse limite [latex]v_l[/latex] et donner son expression.
   • Comme se simplifie l’équation différentielle en régime stationnaire ?
6. Résoudre l’équation différentielle.
   • Procéder par séparation des variable.
   • Quelle est la primitive de [latex]\frac{1}{ax^2+b}[/latex] ?
   • Dériver [latex]\frac{1}{\sqrt{ab}}\arctan\left(\sqrt{\frac{a}{b}}x\right)[/latex].
7. Critiquer le modèle utilisé.
   • Que vaut le nombre de Reynolds à [latex]t=0[/latex].
   • Expliquer pourquoi la modélisation de la force de frottement fluide par [latex]F_{tr} = \frac{1}{2}\mu\nu^2SC_x[/latex] n’est pas pertinente aux premiers instants du mouvements.

5 – Dériveur

1. Si le dériveur se déplaçait par rapport à l’eau à une vitesse de norme [latex]v_e = \SI{20}{km.h^{-1}}[/latex], dans une direction orthogonale à celle du vent, quelles seraient les valeurs des nombres de Reynolds associés aux deux écoulements : air et eau ? Commenter.
   • Pour l’écoulement d’air autour de la voile, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
   • Pour l’écoulement d’eau autour de la dérive, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
2. La figure ci-dessus montre un schéma très simplifié du dériveur en vue de dessus. A la différence d’un char à voile, dont les roues adhèrent bien au sol, un dériveur ne peut pas se déplacer dans la direction de son axe [latex](Ox)[/latex]. En plus de son mouvement d’avancement selon son axe, il subit un mouvement dit <>. La direction de sa vitesse [latex]\vec{v_{vit}}[/latex] par rapport à l’eau est indiquée sur la figure. En utilisant la portance et la trainée des deux ailes que constituent la voile et la dérive, effectuer un schéma des différentes forces horizontales agissant sur le dériveur. Y a t-il d’autres forces à ajouter ?
   • Représenter la vitesse de l’eau par rapport au dériveur.
   • Les forces de trainée sont colinéaires aux vitesses. Les forces de portance sont orthogonales aux vitesses.
   • En plus des forces horizontales, quelles sont les deux forces à rajouter.
3. En déduire un ordre de grandeur de l’envergure [latex]L_{env, e}[/latex] à choisir pour la dérive.
   • En régime stationnaire, l’accélération est nulle, et donc la somme des forces l’est aussi.
   • Projeter le TRC sur l’axe [latex](Ox)[/latex].