Physique des ondes – Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d’Alembert

1 – Corde vibrante conductrice

1. Établir l’équation du mouvement de la corde sous la forme
   [latex]\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{i_0 B_0}{\mu}\cos(\omega t)\sin(\frac{\pi x}{L})[/latex]
   où [latex]c[/latex] est une constante à exprimer en fonction des données de l’énoncé.
   • Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert avec cette fois-ci la force de Laplace en plus.
2. On cherche une solution en [latex]z(x,t)=z_0\sin(\frac{\pi x}{L})\cos(\omega t)[/latex] en régime sinusoïdal forcé. Commenter le choix de cette expression.
   • Cette onde est-elle une onde stationnaire ou progressive ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ?
3. Déterminer l’expression de [latex]z_0[/latex]. Que se passe-t-il quand [latex]\omega[/latex] tend vers [latex]\frac{\pi c}{L}[/latex] ? La modélisation du phénomène est-elle toujours valable ? Expliquer.
   • Introduire l’expression de [latex]z[/latex] dans l’équation d’onde.
   • Les hypothèses faire pour établir l’équation d’onde sont-elles compatibles avec une amplitude qui diverge ?

2 – Câble coaxial alimenté par un générateur

1. Ascertain the voltage wave [latex]u(x,t)[/latex] and the current wave [latex]i(x,t)[/latex].
   • Deux possibilités : soit chercher les solutions sous la forme [latex]f(x)g(t)[/latex] (milieu fini), soit sous la forme d’une onde incidente plus une onde réfléchie.
   • Quelles sont les conditions aux limites en [latex]x=0[/latex] ? en [latex]x=L[/latex] ?
2. For some values of [latex]\omega[/latex], the amplitude of [latex]u[/latex] and [latex]i[/latex] are very important. Explain why and for determine the values of [latex]\omega[/latex] for which this happens.

3 – Modèle d’une clarinette

1. Pourquoi modéliser l’onde sonore par une onde stationnaire ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ? Dans un tel milieu, sous quelle forme cherche-t-on des solutions de manière privilégiée ?
2. Établir l’expression du champ de vitesse dans la clarinette. A-t-on [latex]P(x,t)=Zv(x,t)[/latex], où [latex]Z=\rho_0c[/latex] ?
   • Écrire l’équation mécanique liant la surpression à la vitesse.
3. Quelles sont les deux conditions aux limites imposées par l’atmosphère ?
   • Attention, dans cet exercice, [latex]P[/latex] désigne la surpression et pas la pression comme dans le cours.
   • Écrire la condition d’adhérence en [latex]x=0[/latex] et la continuité de la pression en [latex]x=l[/latex].
4. Établir quelles pulsations peuvent être jouées avec cet instrument.
   • Quelles valeurs de [latex]k[/latex] sont possible avec la condition aux limites sur la surpression en [latex]x=l[/latex] ?
   • Relier [latex]k[/latex] à [latex]\omega[/latex] grâce à la relation de dispersion.
5. La note fondamentale d’une flute de longueur [latex]l[/latex] est [latex]\omega_f=\frac{\pi c}{l}[/latex]. Comparer la hauteur de son d’une flute et d’une clarinette de même longueur.
   • La fondamentale est la plus petite fréquence ([latex]n=1[/latex]).

4 – Modes propres dans une cavité sphérique

1. Que représente chacun des termes de [latex]P(r,t)[/latex] ?
   • Pour chaque terme, est-ce une onde stationnaire ou progressive . harmonique ou non ? sphérique, cylindrique ou plane ?
2. Déterminer le champ des vitesses [latex]\underline{v}[/latex] associé à l’onde ?
   • Attention, les ondes ne sont pas des OPPH, on ne peut pas utiliser l’impédance acoustique.
   • Utiliser la relation mécanique liant la surpression et la vitesse.
3. Établir le lien entre [latex]\omega_1[/latex] et [latex]\omega_2[/latex] puis [latex]A[/latex] et [latex]B[/latex]. En déduire [latex]\underline{v}[/latex].
   • Écrire la condition d’adhérence en [latex]r=R[/latex].
   • Isoler les fonctions de [latex]t[/latex] d’un côté du signe égal.
4. En supposant que la surpression ne diverge pas en [latex]0[/latex], montrer que [latex]-2kR=\arctan\frac{2kR}{1-k^2R^2}[/latex]. Comment déterminer graphiquement les valeurs de [latex]k[/latex] possibles ?

5 – Cavité électromagnétique à une dimension

1. Établir l’équation de propagation pour [latex]\vec{E}[/latex] dans le vide.
2. On cherche des solutions à variables séparables : [latex]\vec{E}=f(x)g(t)\vec{u_y}[/latex]. Établir les équations différentielles [latex]f »(x)=\alpha f(x)[/latex] et [latex]g »(t)=\alpha c^2 g(t)[/latex], où [latex]\alpha[/latex] est une constante inconnue à ce stade.
   • Remplacer [latex]\vec{E}[/latex] par [latex]f(x)g(t)\vec{e_y}[/latex] dans l’équation de d’Alembert et séparer les variables.
3. Quelles sont les conditions aux limites.
   • Dans un conducteur parfait, le champ électrique est nul. De plus, la composante tangente à l’interface du champ électrique est continue.
4. Déterminer [latex]f(x)[/latex]. L’exprimer sous la forme d’une fonction de [latex]kx[/latex] où [latex]k[/latex] est une constante qui dépend de [latex]\alpha[/latex] et d’un entier [latex]n[/latex].
   • L’équation différentielle sur [latex]f[/latex] a trois familles de solutions. Parmi elles, quelle est la seule admettant des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
   • Quelle contrainte sur [latex]k[/latex] imposent les conditions aux limites ?
5. En déduire l’expression de [latex]\vec{E}[/latex] en fonction de [latex]k[/latex] , d’une constante multiplicative près notée [latex]E_0[/latex] et d’une phase [latex]\varphi[/latex].
   • Quelles sont les solutions de l’équation différentielle sur [latex]g[/latex] ?
6. Quelle est l’analogue mécanique de ce problème électromagnétique ?
   • Penser à un système où on a également des modes propres quantifiés à cause de deux conditions aux limites strictes.
7. Établir l’expression du champ magnétique [latex]\vec{B}[/latex]. Que dire des points où [latex]\vec{B}[/latex] est constamment nul, par rapport à ceux où [latex]\vec{E}[/latex] est constamment nul ?
   • La relation de structure, démontrée pour une OPPH, ne peut pas être utilisée ici.
   • Quelle équation de Maxwell permettrait de déterminer [latex]\vec{B}[/latex] ?
   • Utiliser l’équation de Maxwell-Faraday.