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1 – Ondes sonores dans un fluide visqueux
- Montrer que le PFD appliqué à une particule de fluide, dans l’approximation acoustique, en projection sur l’axe [latex](Ox)[/latex] donne [latex display= »true »]\rho_0\frac{\partial v_1}{\partial t} = -\frac{\partial P_1}{\partial x} + \frac{4}{3}\eta\frac{\partial^2v_1}{\partial x^2}[/latex]
- Reprendre le PDF sur une particule de fluide du cours, en ajoutant cette fois ci la force de viscosité.
- L’énoncé précise que l’onde se propage selon [latex]x[/latex]. Simplifier les opérateurs vectoriels dans ce cas.
- Établir l’équation de propagation de l’onde sonore pour la surpression (on n’utilisera que les équations projetées sur [latex]\vec{u_x}[/latex]). On utilisera la célérité, telle que [latex]c^2=\frac{1}{\chi_0\rho_0}[/latex], afin de ne pas employer le coefficient de compressibilité isentropique.
- L’équation thermodynamique et l’équation locale de conservation de la masse restent inchangées.
- Dériver l’équation locale de conservation de la masse d’une part par rapport à [latex]x[/latex] et d’autre part par rapport à [latex]t[/latex] afin d’éliminer les [latex]v_1[/latex] de l’équation de la question 1.
- L’onde est harmonique de fréquence [latex]f=\SI{1.0e3}{Hz}[/latex]. Pour l’air à \SI{20}{\celsius}, on donne [latex]\eta/\rho_0=\SI{2.0e-5}{m^2s^{-1}}[/latex]. Établir l’équation de dispersion et la distance caractéristique d’atténuation de l’onde, en tenant compte des approximations numériques.
- Passer en complexes l’équation d’onde.
- La distance caractéristique d’atténuation de l’onde est la profondeur de peau.
- Est-ce la raison pour laquelle on entend moins bien un son quand on s’éloigne de sa source ?
- À part l’absorption, quel autre phénomène peut être responsable de l’atténuation de l’amplitude d’une onde ?
2 – Corde vibrante soumise à des frottements visqueux
- Mettre en équation la corde. On introduira les coefficients [latex]c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}[/latex] et [latex]a=\frac{\alpha}{T}[/latex].
- Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert du cours en rajoutant la force de frottement fluides.
- On cherche une solution à variables séparées en [latex]y(x,t)=f(x)g(t)[/latex]. À quelles équations différentielles les deux fonctions [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] obéissent-elles ?
- Introduire la forme proposée dans l’équation d’onde et séparer les variables.
- Résoudre l’équation sur [latex]f[/latex] puis celle sur [latex]g[/latex]. On se placera dans le cas de frottements faibles, et on précisera explicitement l’inégalité qu’implique cette hypothèse. On ne cherchera pas à expliciter les constantes.
- L’équation différentielle sur [latex]f[/latex] possède trois familles de solution. Parmi ces familles, quelle est la seule qui admet des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
- Compte tenu de l’hypothèse de frottements faibles, quel est le signe du discriminent de l’équation différentielle sur [latex]g[/latex] ?
- En déduire la durée caractéristique d’amortissement des oscillations. Que devient l’énergie initialement contenue dans la vibration de la corde ?
- La durée caractéristique d’amortissement apparait dans l’exponentielle.
3 – Câble coaxial et pertes résistives
- Établir une relation entre [latex]\Gamma[/latex], [latex]g[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
- Réaliser un schéma électrique d’une portion infinitésimale de cable.
- Appliquer la loi des nœuds.
- Établir une relation entre [latex]\Lambda[/latex], [latex]r[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
- Appliquer la loi des mailles.
- En déduire que [latex]u(x,t)[/latex] satisfait à l’équation dite des télégraphistes [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\alpha\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\beta\frac{\partial y}{\partial t}-\mu u(x,t)=0[/latex]. Préciser l’expression de [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex], et [latex]\mu[/latex] en fonction des paramètres de l’énoncé. On admet que [latex]i[/latex] obéit à la même équation.
- Il faut combiner les équations des question précédentes.
- Dériver l’équation de la question 1 par rapport à [latex]t[/latex] et celle de la question 2 par rapport à [latex]x[/latex]. Appliquer le théorème de Schwarz.
- On considère une onde qui se déplace dans le sens de [latex]x[/latex] croissants : [latex]\underline{u}^+(x,t)=\underline{u}_0^+e^{j(\omega t-kx)}[/latex]. Établir l’équation de dispersion.
- Passer en complexe l’équation d’onde de la question précédente.
- On pose [latex]\underline{k}=k’+jk »[/latex]. Qu’implique le fait que [latex]\underline{k}[/latex] soit complexe ?
- Déterminer la vitesse de phase [latex]v_\phi[/latex] et une longueur [latex]\delta[/latex] caractéristique en fonction de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex]. Quels doivent être les signes de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex] ?
4 – Spread of an electromagnetic wave in a plasma
- Ascertain the magnetic field of this wave.
- L’onde est une OPPH. Quelle relation lie [latex]\vec{E}[/latex] et [latex]\vec{B}[/latex] dans ce cas ?
- Determine 2 equations on the current density vector [latex]\vec{\underline{j}}[/latex]. Deduce the dispersion equation and comment the result.
- Les deux équations sont la loi d’Ohm locale et l’équation de Maxwell-Ampère.
- Ascertain the Poynting vector. Comment.
- Attention, il faut repasser en réel pour calculer le vecteur de Poynting.
5 – Simulation de la propagation d’un paquet d’onde dans un plasma
- Reprendre le PDF sur une particule de fluide du cours, en ajoutant cette fois ci la force de viscosité.
- L’énoncé précise que l’onde se propage selon [latex]x[/latex]. Simplifier les opérateurs vectoriels dans ce cas.
- L’équation thermodynamique et l’équation locale de conservation de la masse restent inchangées.
- Dériver l’équation locale de conservation de la masse d’une part par rapport à [latex]x[/latex] et d’autre part par rapport à [latex]t[/latex] afin d’éliminer les [latex]v_1[/latex] de l’équation de la question 1.
- Passer en complexes l’équation d’onde.
- La distance caractéristique d’atténuation de l’onde est la profondeur de peau.
- À part l’absorption, quel autre phénomène peut être responsable de l’atténuation de l’amplitude d’une onde ?
- Mettre en équation la corde. On introduira les coefficients [latex]c=\sqrt{\frac{T}{\mu}}[/latex] et [latex]a=\frac{\alpha}{T}[/latex].
- Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert du cours en rajoutant la force de frottement fluides.
- On cherche une solution à variables séparées en [latex]y(x,t)=f(x)g(t)[/latex]. À quelles équations différentielles les deux fonctions [latex]f[/latex] et [latex]g[/latex] obéissent-elles ?
- Introduire la forme proposée dans l’équation d’onde et séparer les variables.
- Résoudre l’équation sur [latex]f[/latex] puis celle sur [latex]g[/latex]. On se placera dans le cas de frottements faibles, et on précisera explicitement l’inégalité qu’implique cette hypothèse. On ne cherchera pas à expliciter les constantes.
- L’équation différentielle sur [latex]f[/latex] possède trois familles de solution. Parmi ces familles, quelle est la seule qui admet des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
- Compte tenu de l’hypothèse de frottements faibles, quel est le signe du discriminent de l’équation différentielle sur [latex]g[/latex] ?
- En déduire la durée caractéristique d’amortissement des oscillations. Que devient l’énergie initialement contenue dans la vibration de la corde ?
- La durée caractéristique d’amortissement apparait dans l’exponentielle.
3 – Câble coaxial et pertes résistives
- Établir une relation entre [latex]\Gamma[/latex], [latex]g[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
- Réaliser un schéma électrique d’une portion infinitésimale de cable.
- Appliquer la loi des nœuds.
- Établir une relation entre [latex]\Lambda[/latex], [latex]r[/latex], [latex]u(x,t)[/latex], [latex]i(x,t)[/latex] et/ou de leurs dérivées premières.
- Appliquer la loi des mailles.
- En déduire que [latex]u(x,t)[/latex] satisfait à l’équation dite des télégraphistes [latex]\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-\alpha\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\beta\frac{\partial y}{\partial t}-\mu u(x,t)=0[/latex]. Préciser l’expression de [latex]\alpha[/latex], [latex]\beta[/latex], et [latex]\mu[/latex] en fonction des paramètres de l’énoncé. On admet que [latex]i[/latex] obéit à la même équation.
- Il faut combiner les équations des question précédentes.
- Dériver l’équation de la question 1 par rapport à [latex]t[/latex] et celle de la question 2 par rapport à [latex]x[/latex]. Appliquer le théorème de Schwarz.
- On considère une onde qui se déplace dans le sens de [latex]x[/latex] croissants : [latex]\underline{u}^+(x,t)=\underline{u}_0^+e^{j(\omega t-kx)}[/latex]. Établir l’équation de dispersion.
- Passer en complexe l’équation d’onde de la question précédente.
- On pose [latex]\underline{k}=k’+jk »[/latex]. Qu’implique le fait que [latex]\underline{k}[/latex] soit complexe ?
- Déterminer la vitesse de phase [latex]v_\phi[/latex] et une longueur [latex]\delta[/latex] caractéristique en fonction de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex]. Quels doivent être les signes de [latex]k'[/latex] et [latex]k »[/latex] ?
4 – Spread of an electromagnetic wave in a plasma
- Ascertain the magnetic field of this wave.
- L’onde est une OPPH. Quelle relation lie [latex]\vec{E}[/latex] et [latex]\vec{B}[/latex] dans ce cas ?
- Determine 2 equations on the current density vector [latex]\vec{\underline{j}}[/latex]. Deduce the dispersion equation and comment the result.
- Les deux équations sont la loi d’Ohm locale et l’équation de Maxwell-Ampère.
- Ascertain the Poynting vector. Comment.
- Attention, il faut repasser en réel pour calculer le vecteur de Poynting.
5 – Simulation de la propagation d’un paquet d’onde dans un plasma
- Réaliser un schéma électrique d’une portion infinitésimale de cable.
- Appliquer la loi des nœuds.
- Appliquer la loi des mailles.
- Il faut combiner les équations des question précédentes.
- Dériver l’équation de la question 1 par rapport à [latex]t[/latex] et celle de la question 2 par rapport à [latex]x[/latex]. Appliquer le théorème de Schwarz.
- Passer en complexe l’équation d’onde de la question précédente.
- Ascertain the magnetic field of this wave.
- L’onde est une OPPH. Quelle relation lie [latex]\vec{E}[/latex] et [latex]\vec{B}[/latex] dans ce cas ?
- Determine 2 equations on the current density vector [latex]\vec{\underline{j}}[/latex]. Deduce the dispersion equation and comment the result.
- Les deux équations sont la loi d’Ohm locale et l’équation de Maxwell-Ampère.
- Ascertain the Poynting vector. Comment.
- Attention, il faut repasser en réel pour calculer le vecteur de Poynting.