Physique des ondes 3 – Interfaces entre deux milieux

1 – Réflexion et transmission sur un plasma

1. Déterminer la conductivité complexe du plasma [latex]\underline{\gamma}[/latex] à la pulsation [latex]\omega[/latex].
2. Montrer que la densité volumique de charges est nulle dans le plasma.
3. Établir l’équation de dispersion [latex]k_p(\omega)[/latex] dans le plasma en posant [latex]\omega_p=\sqrt{\frac{Ne^2}{m\epsilon_0}}[/latex].
4. En déduire l’indice optique [latex]n[/latex] du plasma défini par [latex]n=\frac{c}{v_\phi}[/latex] où [latex]v_\phi[/latex] est la vitesse de phase.
5. Exprimer [latex]\underline{E_r}[/latex] et [latex]\underline{E_t}[/latex] en fonction de [latex]E_0[/latex] et de [latex]n[/latex].
   • Quelle condition aux limites a-t-on à l’interface vide-plasma ?
6. Établir les expressions réelles des trois champs électriques et magnétiques dans le cas [latex]\omega > \omega_p[/latex]. Les amplitudes seront exprimées en fonction de [latex]E_0[/latex] et [latex]n[/latex].
   • Quelle relation relie le champ magnétique et le champ électrique pour une OPPH ?
7. Définir et déterminer les coefficients de réflexion et de transmission en puissance [latex]R[/latex] et [latex]T[/latex], dans le cas [latex]\omega>\omega_p[/latex]. Que vaut leur somme ?
   • Commencer par exprimer les trois vecteurs de Poynting.
8. Dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex], que vaut le module de [latex]\frac{1-\underline{n}}{1+\underline{n}}[/latex] ? On notera [latex]\phi[/latex] l'argument de ce dernier.
9. Dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex], établir les expressions réelles des champs électriques et magnétiques incidents et réfléchis.
10. Calculer [latex]R[/latex] dans le cas [latex]\omega<\omega_p[/latex]. En déduire [latex]T[/latex].
    • Quelle relation sur [latex]R[/latex] et [latex]T[/latex] traduit la conservation de l’énergie ?

2 – Réflexion et transmission entre deux cordes

1. Commenter les expression des trois ondes.
   • Ces ondes sont-elles progressives ? stationnaires ? harmoniques ?
2. En analysant la position de la jonction entre les deux cordes, montrer que les trois pulsations temporelles sont identiques.
   • Comment s’écrit l’onde dans la corde de gauches ? Dans la corde de droite ?
   • L’onde totale est continue en [latex]x=0[/latex].
3. En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur une portion de corde de longueur [latex]2\epsilon[/latex] à la jonction, établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude [latex]r=\frac{y_{0r}}{y_{0i}}[/latex] et [latex]t=\frac{y_{0t}}{y_{0i}}[/latex], en fonction des célérités [latex]c_1[/latex] et [latex]c_2[/latex] dans les cordes.
   • Faire tendre [latex]\epsilon[/latex] vers [latex]0[/latex] pour montrer la continuité de [latex]\vec{T}[/latex] en [latex]0[/latex].
   • Quelle relation relie [latex]\vec{T}[/latex] et [latex]\alpha[/latex] ? [latex]\alpha[/latex] et [latex]y[/latex] ?

3 – Réflexion et transmission entre deux câbles

1. Proposer une modélisation mathématique pour les ondes incidentes, réfléchies et transmises.
   • Comment s’écrit une OPH ?
2. Quelles sont les conditions aux limites en [latex]x=0[/latex] ?
   • La tension et le courant sont continus en [latex]x=0[/latex]. Écrire ce que cela implique sur les ondes ?
3. Définir et établir les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude pour la tension, à la jonction entre les deux câbles. Conclure quant à la nécessité d’assurer une adaptation d’impédance lors de la mise en série de deux câbles coaxiaux.
4. On définit les coefficients de réflexion (resp. transmission) en puissance, par la valeur absolue du rapport entre la valeur moyenne de la puissance réfléchie (resp. transmise) sur la valeur moyenne de la puissance incidente. Calculer ces deux coefficients. Quelle relation simple les lie ?