Catégorie : Mathématiques PC 2024-2025

Programme de colles de la semaine du 06/01 au 10/01 : 14_prog_DSE_probas

Chapitre VIII Lois de probabilités discrètes

Rappels de PCSI : réunion, intersection, évènement contraire.

Tribu des évènements, loi de probabilités. Cas dénombrable, sigma-additivité, exemples. Evènement contraire, probabilités conditionnelles. Formule des probabilités composées.

exercice(s) :

Théoèrme de continuité croissante, de continuité décroissante.
exercice(s) : 3

Famille d’évèneemnts mutuellement indépendants. Système complet d’évènements, formule des probabilités totales. Formule de Bayes.

exercice(s) : 2, 6, 5, 12

loi géométrique : loi du nombre de réalisations nécéssaires à l’obtention d’un premier succès lors de la répétition d’épreuves de Bernoulli indépendantes de même loi.

exercice(s) : 10, 9, 13

Notes de cours :

ch_09_probas_discretes

Documents distribués : TD :

td_08_probas_discretes

Programme de colles de la semaine du 15/12 au 20/12 : 13_prog_DSE

Chapitre VII Séries entières(fin)

Primitivation terme à terme. Dérivation terme à terme, dérivations successives.

exercice(s) :

Unicité du DSE. DSE de référence.
exercice(s) : 4, 9

Recherche de solutions DSE d’une équation différentielle

exercice(s) : 12, 11

Produit de Cauchy de DSE

exercice(s) : 23, 20

Notes de cours :

ch07_DSE

Documents distribués : TD :

td07_DSE

Programme de colles de la semaine du 09/12 au 13/12 : 12_prog_red

Chapitre VII Séries entières

Notations des séries entières de la variable complexe, de la variable réelle. Vocabulaire.

Lemme d’Abel, intervalle [latex]\{r\ge 0;\ (a_n r^n) \textrm{ bornée}\}[/latex]. Rayon de convergence, exemples.

exercice(s) : 1a)

Disque ouvert de convergence. Séries entières de référence : géométrique, exponentielle. Détermination pratique du rayon de convergence.
exercice(s) : 1c)

Règle de d’Alembert des séries entières, comparaisons de rayons de convergence.

exercice(s) : 8, 13

Séries entières de la variable réelle ; intervalle ouvert de convergence, convergence normale sur les segments de l’ouvert de convergence.

exercice(s) : 16

Notes de cours :

ch07_DSE

Documents distribués : TD :

td07_DSE

DS III le samedi 06/12 : DS3_M_PC_serfonct

Programme de colles de la semaine du 02/12 au 06/12 : 11_prog_red

Chapitre VI Réduction (suite et fin)

Applications de la réduction : calculs des puissances dans le cas diagonalisable, exemple de système de suites récurrentes linéaires mis sous forme matricielle, lien avec les suites vectorielles données par une relation de récurrence linéaire.
exercice(s) : 20(fin), 9, 6

Trigonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée.  CNS de trigonalisabilité.
exercice(s) : 13

Cas de diagonalisations simultanées, racines carrées d’un endomorphisme ou d’une matrice.

exercice(s) : 18, 17

introduction aux séries entières

exercice(s) :

Notes de cours :

ch06_reduc

Documents distribués : TD :

td06_reduc

DM 09 : dm9_sep

Programme de colles de la semaine du 25/11 au 29/11 :  10_prog_red

Chapitre VI Réduction (suite)

Théorème de Cayley-Hamilton.Les valeurs propres sont nécéssairement racines d’un polynôme annulateur.

Exemples de matrices, recherche des valeurs propres, vecteurs propres, formules de passage.

exercice(s) : 15,

Diagonalisabilité d’un endomorphisme ou d’une matrice carrée. Exemples.
exercice(s) : 14, 20, 13

Les sous-espaces propres sont en somme directe. CS de diagonalisabilité, CNS de diagonalisabilité.

exercice(s) : 4, 5, 16

Applications de la réduction

exercice(s) : 18, 21, 22 ?

Notes de cours :

ch06_reduc

Documents distribués : TD :

td06_reduc

DM 09 : dm9_sep

Programme de colles de la semaine du 18/11 au 22/11 : 09_prog_serfonct_red

Chapitre VI Réduction des endomorphismes et matrices

Rappels de PCSI : endomorphismes, écriture matricielle dans une base, formules de passage. Endomorphisme canoniquement associé à une matrice carrée.

Sous-espaces stables, droites stables.

exercice(s) :

Eléments propres.
exercice(s) :

Polynôme caractéristique sous forme factorisée et détermination des valeurs propres.

exercice(s) :

Notes de cours :

ch06_reduc

Documents distribués : TD :

td06_reduc

DM 09 : dm9_sep

Programme de colles de la semaine du 11/11 au 15/11 : 08_prog_suitserfonct

Chapitre V (suite) : Suites et séries de fonctions

Définitions pour les séries de fonctions : convergence simple, convergence uniforme, convergence normale.
exercice(s) :3

Lien entre les convergences
exercice(s) : 4,

Continuité de la somme, intégration terme à terme sur un segment, intégration terme à terme sur un intervalle avec hypothèse de domination.
exercice(s) :

Dérivation terme à terme d’une série de fonctions ; dérivations successives.

exercice(s) :

Notes de cours :

ch05_seriesfonct2024

Documents distribués : TD :

td05_seriesfonct2024

Programme de colles de la semaine du 14/10 au 18/10 : programme de la semaine de la rentrée : 07_prog_series_sdf_polann

Chapitre V : Suites et séries de fonctions

Définition : convergence simple. Simulations. convergence uniforme. Simulations. 
exercice(s) :

Norme infinie : norme de la convergence uniforme.
exercice(s) : 1, 2, 8,

Continuité de la limite. Intégration et limite pour une suite de fonctions qui converge uniformément.
exercice(s) : 5, 9

Dérivation et limite, théorème de convergence dominée.

exercice(s) : 24, 13, 17

chercher le 35 pour le lundi de la rentrée

Devoir maison 7  : dm7_suitfonc

Attention, la question 6 est incorrecte, $\phi$ n’est pas intégrable en $+\infty$, car équivalente à $x\mapsto 2$ non intégrable. Traiter les questions 1 à 5.

Notes de cours :

ch05_seriesfonct2024

Documents distribués : TD :

td05_seriesfonct2024

Programme de colles de la semaine du 14/10 au 18/10 : programme de la semaine prochaine : 06_prog_series_polann

Chapitre IV : Polynômes d’endomorphismes, interpolation

Définition : polynôme d’endomorphismes, exemples. Polynôme annulateur. Cas d’un projecteur ou d’une symétrie. Application au calcul d’inverse.
exercice(s) : 1

Polynômes matriciels, polynômes matriciels. Polynôme annulateur, application au calcul d’inverse, au calcul de puissances par division euclidienne.
exercice(s) : 3, 4, 5

Interpolation de Lagrange.

exercice(s) : 6

Déterminants de Vandermonde.

exercice(s) : 10, 11, 13, 14

Notes de cours :

ch04_polendo

Documents distribués : TD :

td04_polendo

Programme de colles de la semaine du 07/10 au 11/10 : programme de la semaine prochaine : 05_prog_tr_series

Chapitre III : Séries numériques (suite)

Technique de comparaison série-intégrale. Formule de Stirling (preuve non exigible)
exercice(s) : 5a, pour mercredi chercher le 6

Critère spécial des séries alternées.

exercice(s) : 6, 5b, 5c, 10

Règle de d’Alembert.

exercice(s) : 11, 5d

 Produit de Cauchy.

exercice(s) : 14, 16, 17

Devoir surveillé 2 (4h)

Notes de cours :

ch03_Seriesnum2024

Documents distribués : TD :

td03_Seriesnum2024