Catégorie : Physique-Chimie PSI 2024-2025

1 – Détermination d’une loi de vitesse

1. Quel est le lien entre la vitesse volumique d’apparition de [latex]\ce{NO2}[/latex] ([latex]r_{\ce{NO2}}[/latex]) et la vitesse volumique de réaction [latex]r[/latex] ?
   • Quel lien y a-t-il entre la quantité de matière de [latex]\ce{NO2}[/latex] et l’avancement [latex]\xi[/latex] ? Entre la concentration [latex]\ce{[NO2]}[/latex] et l’avancement volumique [latex]\frac{\xi}{V}[/latex] ?
   • Faire un tableau d’avancement pour répondre au coup de pouce précédent.
2. Montrer que pour une réaction d’ordre 2, on a [latex]\ln\left(\frac{\ce{[NO2]}_e-\ce[NO2]_s}{\tau}\right)=\alpha\ln\ce{[NO2]}_s+B[/latex]. Que vaut [latex]\alpha[/latex] pour une réaction d’ordre 2 ?
   • Faire un bilan de matière sur un système fermé constitué à partir du système ouvert [latex]{\text{réacteur}}[/latex].
   • Que signifie que la réaction est d’ordre 2 ?
   • Comme la réaction a un unique réactif, son ordre partiel en [latex]\ce{NO2}[/latex] est l’ordre global.
3. Les résultats expérimentaux sont-ils compatibles avec une cinétique d’ordre 2 ? Calculer la constante de vitesse [latex]k[/latex] à la température de l’expérience.
   • Tracer [latex]\ln\left(\frac{\ce{[NO2]}_e-\ce[NO2]_s}{\tau}\right)[/latex] en fonction de [latex]\ln \ce{[NO2]}[/latex]. Faire une régression linéaire.
   • Si le modèle d’une réaction d’ordre 2 est bien vérifié, que doit valoir [latex]r^2[/latex] ? Que doit valoir la pente ?

2 – Comparaison d’installation

1. Dans un premier temps, on emploi un \textbf{réacteur fermé} contenant [latex]\SI{40}{L}[/latex] de mélange homogène. Quelle doit être la durée de l’opération pour obtenir un taux de conversion égal à [latex]\SI{98}{\%}[/latex] ?
   • Relier la vitesse volumique de réaction à la concentration d’ester de deux façons : grâce en faisant intervenir le coefficient stœchiométrique et en utilisant le fait que la réaction est d’ordre 1.
   • Résoudre l’équation différentielle pour exprimer la concentration d’ester en fonction du temps.
2. On désire cette fois traiter [latex]\SI{40}{L.h^{-1}}[/latex] de solution dans un \textbf{réacteur ouvert} parfaitement agité continu pour obtenir un taux de conversion de [latex]\SI{98}{\%}[/latex]. Quels doivent être le temps de passage et le volume du réacteur ?
   • Faire un bilan de matière en ester sur un système fermé constitué à partir du système ouvert [latex]{\text{réacteur}}[/latex].
   • Relier la concentration en entrée, la concentration en sortie, le temps de passage et la constante [latex]k_\text{app}[/latex].
3. On désire, enfin, traiter [latex]\SI{40}{L.h^{-1}}[/latex] de solution dans une cascade de [latex]n=10[/latex] réacteur parfaitement agités continus de mêmes dimensions, associés en série. On suppose que le temps de passage est le même dans chaque réacteur. Quels doivent être le temps de passage et le volume total des réacteurs pour obtenir un taux de conversion de [latex]\SI{98}{\%}[/latex] ?
   • Reprendre le résultat précédent et l’appliquer entre un réacteur [latex]i[/latex] et un réacteur [latex]i+1[/latex].
   • Quelle est la nature de la suite [latex](\ce{[E]}_i)_{i\in \mathbb{N}^*}[/latex] ?
   • Exprimer [latex]\ce{[E]}_{10}[/latex] en fonction de [latex]\ce{[E]}_0[/latex], [latex]k_{\text{app}}[/latex] et [latex]\tau[/latex].

1 – Échangeur thermique à contre-courant

1. À l’aide du premier principe de la thermodynamique, établir un lien entre ces deux puissances, [latex]D[/latex] et les enthalpies massiques du fluide en entrée et en sortie.
   • Il s’agit de la démonstration du PPI du cours, avec quelques hypothèses qui simplifient un peu les calculs.
   • Le PPI ainsi obtenu doit être multiplié par le débit massique pour faire apparaitre les puissance demandées.
2. En raisonnant de même, calculer [latex]\theta_2[/latex].
   • Donner un nom à la puissance allant du gaz vers le fluide.
   • Appliquer le PPI en termes de puissances d’une part au gaz et d’autre part au fluides.
   • Utiliser la seconde loi de Joule.
3. En faisant un bilan d’entropie sur un système fermé bien choisi, exprimer le taux de création d’entropie [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] en fonction de la différence d’entropie massique entre la sortie et l’entrée pour l’eau [latex]s_{2,e}-s_{1,e}[/latex] et de gaz [latex]s_{2,g}-s_{1,g}[/latex] et des débits massiques.
   • Il s’agit de démontrer le second principe de la thermodynamique pour un système ouvert en écoulement stationnaire (démo du cours).
   • Par quoi doit on multiplier l’équation pour faire apparaitre une puissance.
4. En utilisant l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex], montrer que [latex]s_{2,e}-s_{1,e}=c\ln\frac{\theta_2}{\theta_1}[/latex] et que [latex]s_{2,g}-s_{1,g}=\frac{\gamma R}{M(\gamma-1)}\ln\frac{T_2}{T_1}[/latex] calculer leur valeur.
   • Écrire l’identité thermodynamique sur [latex]H(P,S)[/latex] puis la seconde loi de Joule.
   • Exprimer la variation d’entropie massique en fonction de la capacité thermique massique et de la température.
   • Pour un gaz parfait, comment la capacité thermique massique à pression constant s’exprime-t-elle en fonction du coefficient de Laplace ?
5. Quel est le signe de [latex]\frac{\delta S_C}{dt}[/latex] ? Est-ce conforme avec le second principe de la thermodynamique ?

2 – Vidange d’une cuve

1. Un agriculteur souhaite vidanger une cuve cubique d’un mètre cube remplie d’eau par un robinet situé en bas. Combien de temps doit-il prévoir ? Des hypothèses raisonnables peuvent être faites, à condition qu’elles soient explicitées.
   • En supposant l’écoulement parfait, stationnaire, incompressible et homogène, établir l’expression de la vitesse au niveau de la vanne.
   • Relier le débit volumique à la vitesse de l’écoulement au niveau de la vanne.
   • Relier le volume d’eau dans la cuve à la hauteur d’eau.
   • Formuler une équation différentielle sur la hauteur ou le volume d’eau puis l’intégrer.
   • L’équation différentielle peut être intégrée entre l’état initial et l’état final par séparation des variables.
   • [latex]2\sqrt(c)[/latex] est une primitive de [latex]\frac{1}{\sqrt(x)}[/latex]
   • Estimer la section de la vanne à partir de la photo.

3 – Fonctionnement d’une hélice

1. En utilisant le théorème de Bernoulli, exprimer la pression [latex]P[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v[/latex]. Faire de même pour [latex]P'[/latex] en fonction de [latex]P_a[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v_2[/latex] et [latex]v'[/latex].
2. On note [latex]\vec{F}[/latex] la résultante des forces exercées par l’hélice sur le fluide. Effectuer un bilan d’impulsion\footnote{Impulsion et quantité de mouvement sont synonymes.} dans le volume compris entre [latex]S[/latex] et [latex]S'[/latex] pour exprimer [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]\rho[/latex], [latex]S[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Quelles sont les trois forces s’appliquant sur le système ?
   • Les 3 forces sont les deux forces de pression et la force [latex]\vec{F}[/latex].
   • Justifier que le débit volumique se conserve. En déduire une relation entre [latex]v[/latex] et [latex]v'[/latex].
3. En effectuant un bilan d’impulsion cette fois-ci sur le volume compris entre [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex], établir l’expression de [latex]\vec{F}[/latex] en fonction de [latex]S[/latex], [latex]\rho[/latex], [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que la résultante des forces de pression est nulle.
4. En égalisant les expressions obtenues dans les deux questions précédentes, donner une relation simple entre [latex]v[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
5. En appliquant le théorème de la puissance cinétique à un système fermé bien choisi, déterminer la puissance [latex]\mathcal{P}[/latex] fournie par l’hélice au fluide. Donner le résultat en fonction du débit massique [latex]D_m[/latex], [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex] puis en fonction de [latex]\vec{f}[/latex] et [latex]\vec{v}[/latex].
   • Définir un système fermé à partir du système ouvert délimité par [latex]S_1[/latex] et [latex]S_2[/latex].
6. Commenter le signe de [latex]\mathcal{P}[/latex] et justifier l’allure du tube de courant représenté sur le schéma.
   • Comparer [latex]v_1[/latex] et [latex]v_2[/latex].
   • Justifier que [latex]S_2

4 – Perte de charge dans un élargissement brusque

1. Expliquer pourquoi la pression vaut [latex]P_1[/latex] dans la partie gauche de la zone d’eau morte, au contact de l’élargissement vertical.
   • Écrire la relation de Bernoulli entre la section gauche et l’élargissement.
   • En négligeant les effets de la gravité, comment s’écrit l’équation fondamentale de l’hydrostatique dans la zone d’eau morte.
2. Au moyen d’un bilan de quantité de mouvement sur un système fermé bien choisi, exprimer la chute de pression [latex]P_1-P_2[/latex] entre l’amont et l’aval en fonction de [latex]\mu[/latex], [latex]v_1[/latex] et des sections.
   • Représenter sur un schéma les forces de pression s’exerçant tout autour du système. Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_1[/latex] ? Sur quelle surface s’exerce la pression [latex]P_2[/latex] ?
3. En déduire le coefficient de perte de charge singulière [latex]\zeta[/latex] défini par [latex]\Delta P_\text{sing}=\zeta \frac{1}{2}\mu v_1^2[/latex].

5 – Les propriétés de l’air sont-elles celles d’un gaz parfait dans les conditions ambiantes ?

1. L’air vérifie-t-il l’équation d’état d’un gaz parfait dans les conditions du tableau ?
   • A l’aide de l’équation d’état des gaz parfaits, relier [latex]P[/latex], [latex]v[/latex], [latex]R[/latex], [latex]T[/latex] et [latex]M[/latex]. Cette relation est-elle vérifiée pour les valeurs du tableau ?
2. Sur le diagramme [latex](P, h)[/latex], les isothermes sont-elles conformes aux propriétés d’un gaz parfait ? Qu’en est-il au voisinage du point [latex]A[/latex] ?
   • Que dit la seconde loi de Joule pour un gaz parfait ? Comment varie l’enthalpie pour une isotherme ?
3. Mesurer la capacité thermique massique à pression constante [latex]c_p[/latex] au voisinage du point [latex]A[/latex]. En déduire le coefficient [latex]\gamma[/latex] en adoptant le modèle du gaz parfait.
   • Au voisinage du point [latex]A[/latex], de combien varie l’enthalpie massique lorsque la température passe de [latex]\SI{0}{°C}[/latex] à [latex]\SI{20}{°C}[/latex] ?
   • On rappelle les relations de Mayer [latex]C_P-C_V=nR[/latex] et [latex]\gamma=\frac{C_P}{C_V}[/latex]. En déduire [latex]C_P[/latex] puis [latex]c_P[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
4. En considérant l’isentropique [latex]s = \SI{4}{kJ.K^{-1}.kg^{-1}}[/latex], tracer une courbe permettant de valider ou d’invalider la relation de Laplace. La courbe pourra être tracer sur Python ou la calculatrice et devra comporter 9 points.
   • Mesurer [latex]P[/latex] et [latex]v[/latex] pour des points le long de l’isentropique.
   • En fonction de quoi doit-on tracer la pression pour obtenir une droite si la relation de Laplace est vérifiée ?
   • Tracer [latex]P[/latex] en fonction de [latex]v^{-\gamma}[/latex].
5. En conclusion, le modèle de gaz parfait pour l’air est-il bien vérifié dans les conditions ambiantes.

6 – Stockage d’un fluide diphasé : le GPL

1. Quelle pression règne-t-il dans le réservoir ? Pour un réservoir de [latex]\SI{50}{L}[/latex], quelle masse de propane est-elle stockée ? Le volume massique du liquide saturant étant égal à [latex]\SI{2e-3}{m^3.kg^{-1}}[/latex], quelle est la capacité maximale du réservoir ?
   • Le propane est en équilibre liquide/gaz. Quelle est la forme des isotherme dans le diagramme ?
   • Lire la volume massique sur la courbe.
2. Le réservoir est éprouvé pour résister à une pression de [latex]\SI{30}{bar}[/latex]. En cas d’incendie ou d’échauffement accidentel, à quelle température y a-t-il risque d’explosion ?
   • Qu’est-ce qui reste constant lorsque le réservoir chauffe ? Sur quelle courbe se déplace-t-on ?
   • La masse de propane et le volume du réservoir restent constants.
   • Que vaut la température lorsque l’isochore concernée rencontre la pression [latex]\SI{30}{bar}[/latex] ?
3. Depuis 2001, les réservoirs GPL sont munis d’une soupape permettant d’évacuer le fluide dès que la pression dépasse [latex]\SI{25}{bar}[/latex]. Expliquer l’intérêt de cette soupape.
4. Entre la sortie du réservoir et les injecteurs du moteur, le GPL circule dans un vapo-détendeur où il subit une détente isenthalpique. Comment évoluent la température et la composition du mélange liquide-vapeur ?

1 – Solubility of calcite

1. Calculate the standard free enthalpy of reaction for the solubilisation of the calcite.
   • Utiliser les enthalpies libres de formation.
2. Deduce the solubility product of the calcite.
   • Qu’est-ce que le produit de solubilité ?
   • Comment la constante d’équilibre est-elle liée à l’enthalpie de réaction.

2 – Réactions simultanées

1. Exprimer, lorsque les deux équilibres chimiques sont atteints, la quantité de matière de chaque participant, en fonction de la quantité de matière initiale en méthane [latex]n_0(\ce{CH4})[/latex] et en eau [latex]n_0(\ce{H2O})[/latex] et de l’avancement [latex]\xi_1[/latex] (respectivement [latex]\xi_2[/latex] ) de la réaction (1) (resp. (2)).
   • Dresser deux tableaux d’avancement.
   • Pour simplifier les justifications, les réactions peuvent être considérées successives (dans cette question uniquement) pour la réalisation des tableaux d’avancement.
2. Exprimer les quotients réactionnels en fonction de la pression totale [latex]p_{tot}[/latex], de la pression standard [latex]p^\circ[/latex], des quantités de matières initiales [latex]n_0(\ce{CH4})[/latex] et [latex]n_0(\ce{H2O})[/latex] et des avancements [latex]\xi_1[/latex] et [latex]\xi_2[/latex].
   • L’activité d’un gaz est égal à sa pression partielle divisé par la pression standard.
   • La pression partielle est la pression du gaz multiplié par la fraction molaire [latex]p_i=p_{tot}\frac{n_i}{n_{tot,gaz}}[/latex]
3. Calculer la pression totale [latex]p_{tot}[/latex] pour laquelle la quantité de matière de dioxyde de carbone à l’équilibre est égale à [latex]\SI{0,5}{mol}[/latex]. Quelle est alors la composition à l’équilibre ? Les résolutions d’équation peuvent être réalisées à l’aide de la calculatrice ou de Python.
   • Utiliser la loi d’action des masses pour les deux réactions.

3 – Les chlorures de phosphore

4 – Dépôt de nickel

1. Calculer l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_rH^0_1[/latex] et l’entropie standard de réaction [latex]\Delta_rS^0_1[/latex] à [latex]\SI{298}{K}[/latex].
   • Utiliser la loi de Hess
2. En déduire, dans le cadre de l’approximation d’Ellingham, l’expression numérique de l’enthalpie libre standard [latex]\Delta_rG^0_1[/latex] exprimée en [latex]\SI{}{J.mol^{-1}}[/latex], à la température T, exprimée en kelvin.
   • Quelle est la définition de l’enthalpie libre ? En déduire une relation entre [latex]\Delta_rG^\circ[/latex], [latex]\Delta_r H^\circ[/latex], [latex]\Delta_r S^\circ[/latex] et [latex]T[/latex].
3. Montrer que [latex]\alpha[/latex] dépend de la pression totale [latex]p[/latex] à l’équilibre et de la température [latex]T[/latex] à laquelle on travaille ; expliciter la relation entre [latex]\alpha[/latex], [latex]p[/latex] et la constante d’équilibre [latex]K⁰[/latex] de la réaction étudiée.
   • Faire un tableau d’avancement.
   • Écrire la loi d’action des masses à l’équilibre chimique.
   • Quelle relation existe-t-il entre la constante d’équilibre et l’enthalpie libre de réaction ?
   • L’activité d’un gaz est égal à sa pression partielle divisé par la pression standard.
   • La pression partielle est la pression du gaz multiplié par la fraction molaire [latex]p_i=p_{tot}\frac{n_i}{n_{tot,gaz}}[/latex]
4. À quelle température [latex]T_1[/latex], [latex]\alpha = 0,05[/latex] sous la pression totale [latex]p = \SI{1}{bar}[/latex] ? À quelle température [latex]T_2[/latex], [latex]\alpha = 0,95[/latex] sous la pression totale [latex]p = \SI{1}{bar}[/latex] ?

1 – Troposphère

1. Déterminer l’expression de la pression [latex]P[/latex] en fonction de l’altitude [latex]z[/latex], en fonction de la température [latex]T[/latex], de la masse molaire de l’air [latex]M_\text{air}[/latex], de la constante des gaz parfaits [latex]R[/latex] et de l’accélération de la pesanteur [latex]g[/latex]. On note [latex]P_0[/latex] la pression au niveau de la mer.
   • Relier la masse volumique à la pression grâce à l’équation d’état des gaz parfaits.
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique.
2. Montrer que [latex]70\%[/latex] de la masse totale de l’air se situe en dessous de [latex]\SI{10}{km}[/latex] dans ce modèle.
   • On considère un cylindre de section [latex]S[/latex] et de hauteur [latex]z[/latex]. Exprimer la masse contenue dans ce cylindre comme une intégrale.
   • On souhaite montrer que la masse contenue dans un cylindre de hauteur [latex]10\text{km}[/latex] est égale à [latex]70\%[/latex] de la masse contenue dans un cylindre de hauteur infinie.
3. Les capacités thermiques molaires de l’air sont [latex]C_V=\frac{5}{2}R[/latex] et [latex]C_P=\frac{7}{2} R[/latex]. Exprimer la valeur du coefficient [latex]\gamma[/latex].
4. Montrer que le produit [latex]T^xP^y[/latex] est constant pour une transformation réversible et adiabatique d’un gaz parfait. Exprimer [latex]x[/latex] et [latex]y[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex].
   • Utiliser la loi de Laplace et l’équation d’état des gaz parfaits.
5. En déduire la relation reliant [latex]\frac{dP}{P}[/latex] et [latex]\frac{dT}{T}[/latex].
   • Exprimer [latex]T[/latex] en fonction de [latex]P[/latex] et différentier l’expression obtenue.
6. Établir l’expression du gradient de température adiabatique [latex]\frac{dT}{dz}[/latex] en fonction de [latex]\gamma[/latex], [latex]M[/latex], [latex]g[/latex] et [latex]R[/latex].
   • Utiliser la question précédente et l’équation fondamentale de l’hydrostatique.

2 – Lubrification

1. Calculer la valeur numérique de la réaction tangentielle.
   • Calculer la composante normale de la réaction puis utiliser la loi de Coulomb.
   • Projeter le théorème de la résultante cinétique sur l’axe verticale pour relier la réaction normale au poids.
2. Calculer la distance d’arrêt du mobile et faire l’application numérique.
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • Quel est le temps d’arrêt, c’est-à-dire le temps auquel la vitesse est nulle.
   • La distance d’arrêt correspond à la position du solide au temps d’arrêt.
3. Donner la valeur de la viscosité dynamique de l’eau.
4. Montrer que [latex]v(x,y)[/latex] est indépendant de [latex]x[/latex].
   • Utiliser un argument d’invariance.
   • Que signifie l’expression de l’énoncé « on néglige les effets de bord » ?
5. On admet que la vitesse s’écrit [latex]v(y)=ay+b[/latex]. Déterminer [latex]a[/latex] et [latex]b[/latex] en exploitant la description du problème.
   • Utiliser la condition d’adhérence en [latex]z=0[/latex] et [latex]z=e[/latex].
6. Donner l’expression de la force surfacique de cisaillement au sein de l’eau.
7. Exprimer la force de frottement à laquelle est soumis la pavé.
   • La force exercée sur le pavé et l’opposé de la force exercée par le pavé sur la couche supérieure de fluide.
8. On admet qu’en l’absence d’action de l’opérateur pour maintenir la vitesse constante, l’expression de la vitesse établie précédemment reste valable, mais avec [latex]a[/latex] fonction du temps. Que devient la distance d’arrêt du palet ?
   • Résoudre la projection sur l’axe horizontal du théorème de la résultante cinétique.
   • La distance d’arrêt peut être définie comme la valeur maximale atteinte par la position.

3 – Distribution d’eau potable

1. Quel est l’ordre de grandeur de la pression [latex]P_e[/latex] qui peut être attendue au pied du château d’eau, en admettant que le débit de l’eau dans la canalisation soit suffisamment faible pour ne pas perturber la pression ?
   • Résoudre l’équation fondamentale de l’hydrostatique pour un fluide incompressible.
2. Soit une conduite de longueur [latex]L = \SI{100}{m}[/latex] et de section [latex]S = \SI{1}{cm^2}[/latex] partant du pied de ce château d’eau. L’autre extrémité est à l’air libre. Quel débit peut-on attendre, en supposant \textit{a priori} l’écoulement laminaire ? Calculer la vitesse débitante [latex]U[/latex].
   • Utiliser la loi de Haggen-Poiseuille.
3. Calculer le nombre de Reynolds pour cet écoulement, et conclure.
4. En tenant compte du diagramme de Moody, dire si la vitesse débitante sera plus ou moins importante que celle calculée plus haut.

4 – Chute d’une bille dans un fluide

1. Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]v[/latex] et la résoudre.
   • Quelles sont les 3 forces qui s’exercent sur la bille ?
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
2. On mesure la vitesse [latex]v_{1s}[/latex] une seconde après avoir lâché la bille, sachant que le temps caractéristique du mouvement est [latex]\tau = \SI{6}{ms}[/latex]. On fait cela pour plusieurs billes, de rayons plus petits. La courbe ci jointe montre l’évolution de [latex]v_{1s}[/latex], en fonction du carré [latex]r^2[/latex] du rayon de la sphère. Justifier le positionnement des points expérimentaux. Comment en déduire [latex]\eta[/latex] ?
   • En comparant [latex]t[/latex] et [latex]\tau[/latex], dans quel régime se trouve-t-on ? Quelle est l’expression de la vitesse dans ce régime ?
   • Exprimer la masse de la bille en fonction de [latex]\rho[/latex] et de [latex]r[/latex].
3. Le nombre de Reynolds vaut [latex]Re = 0,1[/latex] pour la plus grosse des sphères. Justifier le modèle.
   • Le nombre de Reynolds croit-il ou décroit-il avec [latex]r[/latex] ?
   • Pour toutes les billes, l’écoulement est-il laminaire ou turbulent ?
4. Que représentent [latex]S[/latex] ? Quelle est l’équation différentielle vérifiée par [latex]v(t)[/latex] ?
   • [latex]S[/latex] n’est PAS la surface de la bille [latex]4\pi r^2[/latex].
   • Appliquer le théorème de la résultante cinétique à la bille.
5. Montrer l’existence d’une vitesse limite [latex]v_l[/latex] et donner son expression.
   • Comme se simplifie l’équation différentielle en régime stationnaire ?
6. Résoudre l’équation différentielle.
   • Procéder par séparation des variable.
   • Quelle est la primitive de [latex]\frac{1}{ax^2+b}[/latex] ?
   • Dériver [latex]\frac{1}{\sqrt{ab}}\arctan\left(\sqrt{\frac{a}{b}}x\right)[/latex].
7. Critiquer le modèle utilisé.
   • Que vaut le nombre de Reynolds à [latex]t=0[/latex].
   • Expliquer pourquoi la modélisation de la force de frottement fluide par [latex]F_{tr} = \frac{1}{2}\mu\nu^2SC_x[/latex] n’est pas pertinente aux premiers instants du mouvements.

5 – Dériveur

1. Si le dériveur se déplaçait par rapport à l’eau à une vitesse de norme [latex]v_e = \SI{20}{km.h^{-1}}[/latex], dans une direction orthogonale à celle du vent, quelles seraient les valeurs des nombres de Reynolds associés aux deux écoulements : air et eau ? Commenter.
   • Pour l’écoulement d’air autour de la voile, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
   • Pour l’écoulement d’eau autour de la dérive, quelle vitesse prendre ? Quelle viscosité cinématique ? Quelle distance caractéristique ?
2. La figure ci-dessus montre un schéma très simplifié du dériveur en vue de dessus. A la différence d’un char à voile, dont les roues adhèrent bien au sol, un dériveur ne peut pas se déplacer dans la direction de son axe [latex](Ox)[/latex]. En plus de son mouvement d’avancement selon son axe, il subit un mouvement dit <>. La direction de sa vitesse [latex]\vec{v_{vit}}[/latex] par rapport à l’eau est indiquée sur la figure. En utilisant la portance et la trainée des deux ailes que constituent la voile et la dérive, effectuer un schéma des différentes forces horizontales agissant sur le dériveur. Y a t-il d’autres forces à ajouter ?
   • Représenter la vitesse de l’eau par rapport au dériveur.
   • Les forces de trainée sont colinéaires aux vitesses. Les forces de portance sont orthogonales aux vitesses.
   • En plus des forces horizontales, quelles sont les deux forces à rajouter.
3. En déduire un ordre de grandeur de l’envergure [latex]L_{env, e}[/latex] à choisir pour la dérive.
   • En régime stationnaire, l’accélération est nulle, et donc la somme des forces l’est aussi.
   • Projeter le TRC sur l’axe [latex](Ox)[/latex].

1 – Élaboration d’un ciment

1. Calculer numériquement les quantités de matière en ciment et en eau (notées [latex]n_1[/latex] et [latex]n_2[/latex]) initialement introduites.
   • Calculer la masse molaire de [latex]\ce{Ca3SiO5}[/latex] et de [latex]\ce{H2O}[/latex].
   • Quelle relation lie masse molaire, masse et quantité de matière ?
2. En supposant la réaction totale, indiquer quel est le réactif limitant et calculer les quantités de matière en chacune des espèces présentes en fin d’évolution.
   • Faire un tableau d’avancement.
   • En supposant [latex]\ce{Ca3SiO5}[/latex] réactif limitant, que serait l’avancement ? Même question pour [latex]\ce{H2O}[/latex]. Quel est le réactif limitant ?
   • Que vaut l’avancement final ?
3. Le système constitué par le calorimètre et son contenu sont supposés en évolution adiabatique. Estimer la valeur de l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_r H^0[/latex] associée à l’équation-bilan [latex](1)[/latex]. On négligera la capacité thermique du calorimètre.
   • On imagine une transformation constitué d’une transformation chimique isotherme suivie d’une élévation de température sans transformation chimique dont les états initiaux et finaux sont les mêmes que la transformation étudiée.
   • Que peut-on dire de la chaleur échangée lors de la transformation étudiée ? En déduire la variation d’enthalpie.
   • Concernant la réaction chimique isotherme : relier la variation d’enthalpie à l’avancement.
   • Concernant l’élévation de température sans réaction chimique : écrire la seconde loi de Joule.
   • Relier les variations d’enthalpie sur les trois transformations.
4. La réaction est-elle exothermique ou endothermique ?

2 – Température de flamme du sulfure de plomb

1. Remplir les deux cases vides du tableau de données.
   • À quelle condition l’enthalpie standard de formation est-elle nulle ?
2. Écrire l’équation-bilan de cette réaction avec un coefficient stœchiométrique algébrique égal à [latex]-1[/latex] pour [latex]\ce{PbS(s)}[/latex].
3. Calculer l’enthalpie standard de réaction [latex]\Delta_rH^0[/latex] à [latex]\SI{298}{K}[/latex] pour la réaction écrite question 2.
   • Utiliser la loi de Hess
4. On part d’un mélange [latex]\ce{PbS(s)}/\ce{O2(g)}[/latex] dans les proportions stœchiométriques, à la température initiale [latex]T_i = \SI{298}{K}[/latex]. La réaction est menée de façon isobare adiabatique, calculer la température de flamme (température finale atteinte).
   • On imagine une transformation constitué d’une transformation chimique isotherme suivie d’une élévation de température sans transformation chimique dont les états initiaux et finaux sont les mêmes que la transformation étudiée.
   • Que peut-on dire de la chaleur échangée lors de la transformation étudiée ? En déduire la variation d’enthalpie.
   • Concernant la réaction chimique isotherme : relier la variation d’enthalpie à l’avancement.
   • Concernant l’élévation de température sans réaction chimique : écrire la seconde loi de Joule.
   • Relier les variations d’enthalpie sur les trois transformations.
5. Reprendre le calcul de la question 4 en supposant que le mélange initial est constitué d’air ([latex]80\%[/latex] de diazote et [latex]20\%[/latex] de dioxygène). La quantité d’air ajoutée est juste suffisante pour provoquer la disparition de la totalité de [latex]\ce{PbS(s)}[/latex].
   • Dans l’air, combien y a-t-il de fois plus de diazote que de dioxygène ?
   • Par rapport à la question précédente, quelles sont les grandeurs qui seront différentes ?

1 – Einstein relation and stability of isothermal atmosphere

1. Using the ideal gas law, ascertain the particule density [latex]n(z)[/latex].
   • Attention à ne pas confondre la quantité de matière et la densité particulaire, toutes deux notées fréquemment [latex]n[/latex].
2. Using Fick law, show that a diffusion phenomenon exists. Express the current density vector [latex]\vec{j}_\text{diff}[/latex].
3. The particules that make air are in motion at microscopic scale. The collisions between particules are modeled with a drag force [latex]\vec{f}=-\frac{m}{\tau}\vec{v}[/latex] that apply on an average particle. Make an inventory of the forces and deduce the limit speed [latex]\vec{v}[/latex] of an average particule. Deduce the current density vector [latex]\vec{j}_\text{mig}[/latex] due to the gravitation.
   • Le modèle proposé ressemble au modèle de Drude. Appliquer la loi de la quantité de mouvement en régime stationnaire.
   • Relier la vitesse au vecteur densité de courant de particules.
4. By making an inventory of the particules on a slice of atmosphere in a stationary state, express a relation between [latex]D[/latex], [latex]\tau[/latex], [latex]k_B[/latex], [latex]T[/latex] and [latex]m[/latex]. This relation is known as Einstein relation.
   • Faire un bilan de particules sur une tranche infinitésimale d’atmosphère. Quatre flux de particules y rentrent : du à la gravitation et du à la diffusion, en [latex]z[/latex] et en [latex]d+dz[/latex].

2 – Taille critique d’une bactérie aérobie

1. Rappeler la loi de Fick reliant le vecteur densité de courant particulaire [latex]\vec{j}=j(r)\vec{u_r}[/latex] à la densité particulaire [latex]n(r)[/latex].
2. Quelle est l’unité de [latex]D[/latex].
3. Établir l’équation de diffusion de particules en coordonnées sphériques.
   • Faire un bilan de particules sur un volume infinitésimal ou sur une boule creuse d’épaisseur infinitésimale.
4. Exprimer le nombre [latex]\phi(r)[/latex] de molécules de \ce{O2} qui traversent par unité de temps une sphère de rayon [latex]r[/latex] ([latex]r>R[/latex]) en fonction de [latex]j(r)[/latex] et de [latex]r[/latex]. Justifier que [latex]\phi[/latex] ne dépend pas du rayon [latex]r[/latex] de la sphère considérée.
5. Déterminer l’expression de la densité particulaire [latex]n(r)[/latex] en \ce{O2} dissous dans l’eau. On exprimera les deux constantes d’intégration en fonction de [latex]D[/latex], [latex]\phi[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex] et [latex]c_0[/latex]. En déduire la densité particulaire [latex]n_R[/latex] en surface de la bactérie, en [latex]r=R[/latex].
   • Résoudre l’équation de diffusion en régime stationnaire.
   • Déterminer les constantes en utilisant la densité particulaire à l’infini et le flux particulaire.
6. En étudiant la consommation en \ce{O2} de la bactérie pendant une durée [latex]dt[/latex], exprimer [latex]\phi[/latex] en fonction de [latex]a[/latex], [latex]\mathcal{N}_A[/latex], de la masse volumique [latex]\mu[/latex] de la bactérie et de son rayon [latex]R[/latex].
   • La consommation de [latex]\ce{O2}[/latex] de la bactérie est le flux particulaire d'[latex]\ce{O2}[/latex] arrivant à la bactérie.
7. En déduire l’expression de [latex]n_R[/latex]. Comment varie [latex]n_R[/latex] en fonction de [latex]R[/latex].
8. Quelle inégalité doit vérifier [latex]n_R[/latex] pour que la bactérie ne suffoque pas. En déduire l’expression du rayon critique [latex]R_c[/latex] d’une bactérie aérobie. Effectuer l’application pour [latex]a=\SI{2e-2}{mol.kg^{-1}.s^{-1}}[/latex]. Comparer ce résultat à la dimension caractéristique [latex]R=1[/latex] à [latex]\SI{10}{\mu m}[/latex] d’une bactérie réelle.
   • La densité particulaire ne peut pas être négative.

3 – Désintégration de l’uranium 235

1. En faisant un bilan de neutron sur une volume mésoscopique, démontrer l’équation fondamentale de la neutronique [latex display= »true »]\frac{\partial N}{\partial t}=-\divv\vec{j}+\frac{\nu-1}{\tau}N(x,y,z,t)[/latex]
   • Combien de neutrons sont captés durant [latex]dt[/latex] dans le volume considéré ? Combien sont émis ?
2. On considère une sphère de rayon [latex]R[/latex] d’uranium 235 et on suppose le problème à symétrie sphérique. On recherche une solution de l’équation ci-dessus sous la forme [latex]N(r,t) = \frac{f(t)g(r)}{r}[/latex]. Déterminer les équations vérifiées par [latex]f[/latex] et par [latex]g[/latex].
   • Il faut procéder par séparation des variables.
3. On prend pour condition aux limites [latex]N(r=R)=0[/latex]. Justifier.
4. Quelles sont les différentes formes de solution pour [latex]g(r)[/latex]. Lesquelles décrivent physiquement la réaction en chaine d’une bombe nucléire ? Résoudre l’équation différentielle sur [latex]g(r)[/latex].
   • Distinguer les cas sur le discriminent et utiliser les conditions aux limites pour trouver les constantes.
   • Une solution constamment nulle ne décrit pas une explosion nucléaire.
5. En déduire la solution de l’équation sur [latex]f(t)[/latex].
6. Sous quelle condition sur le rayon la réaction s’emballe-t-elle ?
7. Quelle masse minimale doit donc avoir une bombe nucléaire ?

1 – Conduction thermique dans un mur

1. Quelles sont les conditions aux limites vérifiées à chaque interface (par [latex]T[/latex] ou par [latex]\vec{j}[/latex]) ?
   • A quelle condition [latex]\vec{j}[/latex] est-il continu ?
   • A quelle condition [latex]T[/latex] est-il continu ?
2. Calculer la résistance thermique associée à chaque partie du mur (en pierre et en laine de verre).
   • Appliquer la formule du cours reliant résistance thermique, épaisseur, surface et conductivité thermique.
3. Montrer que la loi de Newton peut donner lieu à une résistance thermique qu’on précisera.
   • Exprimer la différence de température en fonction du flux thermique pour la loi de Newton.
4. Tracer le circuit équivalent et calculer la résistance équivalente.
   • Le circuit comporte 4 résistances thermiques.
5. Quelle puissance doit fournir le radiateur de la pièce ?
   • Calculer le flux total traversant le mur.
   • Effectuer un bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison pour montrer que la puissance fournie par le chauffage doit compenser exactement la puissance perdue par les murs.

2 – Fil parcouru par un courant électrique

1. Dans quelle direction de déplace les charges ? Même question pour la chaleur.
   • Utiliser la loi de Fourier et la loi d’Ohm locale.
2. Établir l’équation de la diffusion thermique en prenant en compte la puissance produite par effet Joule.
   • Faire un bilan d’énergie sur un cylindre creux ou un volume infinitésimal.
3. Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et pour une température extérieure du fil [latex]T_0[/latex] connue. Tracer [latex]T(r)[/latex].
   • Utiliser comme condition aux limites le fait que [latex]j[/latex] et [latex]T[/latex] ne divergent pas en [latex]0[/latex].
4. Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et avec comme condition aux limites la loi de Newton : [latex]\vec{j}_\text{thé} = h (T(R)-T_\text{air})\vec{e}[/latex] où [latex]\vec{e}[/latex] est dirigé vers l’extérieur du fil. Tracer [latex]T(r)[/latex].

3 – Size of marine mammals

1. Establish the thermal diffusion equation in water (in spherical coordinates).
   • Faire un bilan d’énergie sur un volume infinitésimal ou une boule creuse.
2. Ascertain the temperature [latex]T(r)[/latex] around the animal in stationnary state.
   • Résoudre l’équation précédente en régime stationnaire.
3. Determine the thermal power lost by the mammal by integrating [latex]\vec{j}_\text{th}[/latex].
   • La puissance perdue par l’animal est le flux thermique sortant de l’animal en [latex]r=R[/latex].
4. Explain why there is no small aquatic mammal.
   • Déterminer la puissance volumique produite par l’animal et montrer qu’elle est d’autant plus grande que l’animal est petit.

4 – Ailette de refroidissement

1. Montrer que l’équation différentielle vérifiée par [latex]T(x)[/latex] peut se mettre sous la forme [latex]\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{T(x)-T_a}{L^2}=0[/latex] où on exprimera [latex]L[/latex] en fonction de [latex]\lambda[/latex], [latex]h[/latex] et [latex]e[/latex]. Calculer la valeur numérique de [latex]L[/latex].
   • Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?
   • Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en [latex]x[/latex] et en [latex]x+dx[/latex] et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.
2. Justifier les deux conditions aux limites suivantes : [latex]T(0)=T_0[/latex] et [latex]-\lambda \frac{dT}{dx}(x=l) = h(T(l)-T_a)[/latex].
   • Écrire la continuité du flux thermique en [latex]x=l[/latex].
3. Exprimer [latex]T(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] et le mettre sous la forme : [latex]T(x)=T_1+T_2(\cosh(\frac{x}{L})-f(l,L,\lambda,h)\sinh(\frac{x}{L}))[/latex].
4. Montrer que compte tenu de la longueur de l’ailette, la température de l’ailette est approximativement constante et égale à [latex]T_0[/latex] (on montrera que l’erreur relative commise sous cette hypothèse est inférieur à [latex]1\%[/latex]). On considère maintenant la température de l’ailette égale à [latex]T_0[/latex].
   • Faire l’application numérique du terme en facteur de [latex]T_0[/latex].
5. Calculer l’expression de la puissance thermique [latex]\mathcal{P}[/latex] échangée entre l’ailette et l’air.
6. Déterminer la puissance thermique [latex]\mathcal{P}'[/latex] échangée entre le corps de température [latex]T_0[/latex] et l’air ambiant par la surface d’air [latex]S’=Avé[/latex] en l’absence d’ailette ([latex]S'[/latex] est la surface de la base de l’ailette). En déduire l’expression de l’efficacité [latex]\eta = \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}’}[/latex]. Calculer la valeur.

1 – Resistance of a holed cylinder

1. In which direction is [latex]\vec{j}[/latex] oriented ?
   • Le courant va des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés.
2. Why is the flux of [latex]\vec{j}[/latex] conservative ? By applying this on a cylinders of any radius [latex]r[/latex], deduce that [latex]\vec{j}=C/r\vec{e_r}[/latex] where [latex]C[/latex] is a constant that you will express as a function of [latex]I[/latex] and [latex]l[/latex].
   • Laquelle des hypothèses de l’énoncé implique-t-elle que le régime est stationnaire ?
   • Exprimer le courant à travers un cylindre de rayon [latex]r[/latex] et de hauteur [latex]l[/latex] en fonction de [latex]j[/latex], [latex]l[/latex] et [latex]r[/latex].
3. By integrating the previous expression between [latex]R_1[/latex] and [latex]R_2[/latex] and using Ohm’s law, determine the resistance of the tube.

2 – Effet Hall

1. Faire un bilan des forces s’exerçant sur un électron du conducteur ohmique.
   • Le poids peut être négligé. La composante magnétique et la composante électrique de la force de Lorentz sont toutes deux non-nulles.
2. En régime stationnaire, les lignes de courant sont suivant [latex]\vec{e_y}[/latex]. En déduire une expression de la composante [latex]E_x[/latex] du champ électrique suivant [latex]\vec{e_x}[/latex] en fonction de la charge [latex]e[/latex] d’un porteur, de leur densité [latex]n[/latex], de [latex]\vec{j}[/latex] et de [latex]\vec{B}[/latex].
   • Projeter le théorème de la quantité de mouvement suivant [latex]\vec{e}_x[/latex].
3. En déduire la différence de potentiel existant entre les faces [latex]x=-\frac{a}{2}[/latex] et [latex]x=\frac{a}{2}[/latex]. L’exprimer en fonction de [latex]I[/latex] et d’un paramètre qu’on notera [latex]R_\text{Hall}[/latex] et dont on donnera l’unité.
   • Relier la circulation du champ électrique à la différence de potentiel.
4. Évaluer la valeur de [latex]R_\text{Hall}[/latex] pour le champ magnétique terrestre dans le cas du cuivre ([latex]M_{\ce{Cu}}=\SI{63.5}{g.mol^{-1}}[/latex] ; [latex]\mu_{\ce{Cu}}=\SI{8.96}{g.cm^{-3}}[/latex]) \textbf{puis} d’un semi-conducteur de densité volumique de charges [latex]n=\SI{1.6e22}{m^{-3}}[/latex]. Est-il possible d’utiliser ce dispositif pour mesurer le champ magnétique terrestre dans les deux cas ?

3 – Paratonnerre

1. [latex]\vec{j}[/latex] est-il à flux conservatif dans le sol ? En déduire la dépendance en [latex]r[/latex] de [latex]\vec{j}[/latex].
   • Exprimer le courant passant dans une demi sphère dans le sol, de rayon [latex]r[/latex] en fonction de [latex]r[/latex] et [latex]j[/latex]. Ce courant dépend-il de [latex]r[/latex] ?
2. En déduire l’expression de [latex]V(r)[/latex] en supposant que [latex]V[/latex] vaut [latex]0[/latex] à l’infini.
   • Utiliser la loi d’Ohm locale.
   • Déterminer la circulation du champ électrique entre [latex]r[/latex] et [latex]+\infty[/latex].
3. Exprimer le potentien du paratonnerre en fonction du courant qui le parcourt et introduire la <>.
   • Que donne la relation précédente en prenant [latex]r=R[/latex] ?
4. Cette résistance ne doit pas dépasse \SI{30}{\ohm}. Déterminer le rayon minimum de la demi-sphère.
5. Pour un éclair, le courant peut atteindre \SI{300}{kA}. Tracer [latex]V(r)[/latex] et faire l’application numérique de [latex]V(R)[/latex].
6. Une personne qui n’a pas les deux pieds à la même distance de la demi-sphère peut avoir ses pieds à un potentiel différent. Sachant que la résistance entre ses pieds est de l’ordre \SI{5}{k\ohm} et qu’un courant de \SI{25}{mA} à travers le corps peut être dangereux, calculer la distance minimum à laquelle un homme doit se tenir de la demi-sphère en cas d’orage. Comparer à la valeur proposée sur la photo et proposer une explication à l’éventuel écart.
   • Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.
   • Quelle distance [latex]d[/latex] y a-t-il typiquement entre deux pieds.
   • Dans le pire des cas, les pieds sont <> : leurs coordonnées [latex]r[/latex] sont séparées de [latex]d[/latex].

4 – Magnéto-résistance

1. En reprenant le modèle de Drude, déterminer l’expression de la vitesse [latex]\vec{v}[/latex] des porteurs de charges puis [latex]\vec{j}[/latex].
   • Écrire la seconde loi de Newton en régime stationnaire. Les forces sont la force de frottement fluide modélisant les chocs avec le réseau cristallin et la force de Lorentz (partie magnétique et partie électrique).
   • Projeter la seconde loi de Newton selon [latex]r[/latex] et [latex]\theta[/latex]. Combiner ces équations pour isoler les composantes de [latex]\vec{v}[/latex] selon [latex]\vec{e}_r[/latex] et [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
2. En utilisant la même méthode que dans l’exercice précédant, déterminer l’expression de la résistance [latex]R[/latex] du système.
   • Exprimer la circulation de [latex]E[/latex] puis celle de [latex]j[/latex] entre [latex]R_1[/latex] et [latex]R_2[/latex].
   • Relier la composante de [latex]\vec{j}[/latex] selon [latex]r[/latex] à [latex]I[/latex].

1 – Hachage sur charge inductive

1. Dans quel état est la diode sur [latex][0,\alpha T][/latex] ? sur [latex][\alpha T,T][/latex] ?
   • Lorsque le transistor est passant, quel doit être l’état de la diode ? Lorsque le transistor est bloqué, quel doit être l’état de la diode ?
2. Établir les équations différentielles qui régissent l’évolution du courant [latex]i_s[/latex], sur [latex][0,\alpha T][/latex] et [latex][\alpha T,T][/latex].
   • Dans chacun des cas, redessiner le schéma avec les interrupteurs dans le bon état.
   • Appliquer la loi des mailles dans chacun des cas.
3. Résoudre les équations différentielles sur [latex]i_s[/latex], sans chercher à exprimer les constantes. À quelle condition sur les valeurs de [latex]r[/latex], [latex]L[/latex], et [latex]T[/latex], l’évolution du courant dans la charge est-elle affine par morceau ? On répondra qualitativement à la question.
   • A quelle condition le développement limité de l’exponentielle donne-t-il une fonction affine ?
4. Établir l’expression de la valeur moyenne de l’intensité du courant dans la charge en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]E[/latex] et [latex]r[/latex]. Effectuer l’application numérique.
   • Relier les valeurs moyenne de [latex]u_s[/latex], [latex]u_L[/latex] et [latex]u_r[/latex].
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_s[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex] et [latex]E[/latex]. On pourra tracer un chronogramme de [latex]u_s[/latex].
   • Que vaut la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] ?

2 – Hachage à stockage inductif

1. Montrer que la commande des deux interrupteurs doit être complémentaire (ni ouverts ni fermés tous les deux en même temps).
   • La bobine est-elle un dipole de type source de tension ou source de courant ?
2. Identifier les interrupteurs à utiliser en traçant leur caractéristique courant-tension.
   • Lorsque [latex]K_1[/latex] est ouvert, quel est le signe de [latex]u_1[/latex]. Quand il est fermé, quel est le signe de [latex]i_1[/latex]. Même question pour [latex]K_2[/latex].
3. Tracer la forme d’onde de la tension aux bornes de la bobine. En déduire une relation entre [latex]U[/latex], [latex]U'[/latex] et [latex]\alpha[/latex].
   • Écrire la tension aux bornes de la bobine comme une dérivée. Que vaut la moyenne d’une dérivée ?
   • Exprimer la valeur moyenne de [latex]u_L[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex], [latex]U[/latex] et [latex]U'[/latex].
4. Tracer les formes d’ondes des courants dans la bobine [latex]i_L[/latex] et dans les sources d’entrée [latex]i[/latex] et de sortie [latex]i'[/latex]. On ne cherchera pas à identifier les constantes.
   • Déterminer l’équation différentielle vérifiée par [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
   • Résoudre cette équation différentielle sans cherche à exprimer la constante.
   • Relier [latex]i[/latex] et [latex]i'[/latex] à [latex]i_L[/latex] entre [latex]0[/latex] et [latex]\alpha T[/latex] et entre [latex]\alpha T[/latex] et [latex]T[/latex].
5. Exprimer les valeurs moyennes [latex]I[/latex] et [latex]I'[/latex] des courants [latex]i(t)[/latex] et [latex]i'(t)[/latex] en fonction de la valeur moyenne [latex]I_L[/latex] du courant [latex]i_L(t)[/latex] dans la bobine.
   • Raisonner géométriquement sur les aires dans le chronogramme.
6. En déduire l’expression du rapport [latex]I’/I[/latex] en fonction de [latex]\alpha[/latex]. Que dire du cas [latex]\alpha=1[/latex] ?
7. Dresser un bilan de puissance en exprimant la puissance moyenne cédée par la source de tension [latex]U[/latex], la puissance moyenne consommée par celle de tension [latex]U'[/latex] et le rendement.
8. Quels interrupteurs faudrait-il choisir si le courant dans la bobine était toujours négatif ?
   • Reprendre les indications de la question 3.

3 – Hacheur en pont

1. Dresser la liste de tous les états pour les interrupteurs. Préciser les états autorisés. Dans la suite, on ne s’intéresse qu’aux états qui permettent un transfert de puissance entre l’entrée et la sortie. Quels sont-ils ?
   • Pour dresser la liste des états sans en oublier, on peut s’inspirer du comptage en binaire.
   • La source de tension de doit pas être court-circuitée. La source de courant ne doit pas être en circuit ouvert.
   • Pour que de la puissance soit transférée entre l’entrée et la sortie, il faut que les deux sources soient dans la même maille.
2. En étudiant les contraintes qui pèsent sur les interrupteurs, préciser quels interrupteurs choisir.
   • Tracer les caractéristiques des 4 interrupteurs et placer dessus les deux points de fonctionnements correspondant aux deux états retenus.
   • Pour chacun des deux états retenus, indiquer le signe de la tension et du courant pour chaque interrupteur. On veillera à placer les tensions en convention récepteur.
3. Le hacheur fonctionne de manière périodique. Les interrupteurs commandés sont fermés sur [latex][0,\alpha T][/latex] et ouverts sur [latex][\alpha T, T][/latex]. Comment nomme-t-on [latex]\alpha[/latex].
4. Tracer les formes d’onde de l’intensité [latex]i_e[/latex] du courant en entrée et de la tension [latex]u[/latex] en sortie. En déduire les valeurs moyennes [latex]I_e[/latex] et [latex]U[/latex] de [latex]i_e[/latex] et [latex]u[/latex]. Quelle est la particularité de ce hacheur.
   • Quels sont les ensembles de valeurs que peuvent prendre [latex]U[/latex] et [latex]I_e[/latex] ?
5. Calculer les puissances délivrées par la source d’entrée et absorbée par celle de sortie. En déduire le rendement du hacheur.

4 – Improvement of the yield of a continuous voltage source

1. For the circuit (a), calculate the mean voltage on [latex]R[/latex] and then the yield of the device.
2. For the circuit (b), calculate the mean voltage on the capacitor (some approximations can be made). Calculate the yield for the device.

1 – Couple de mutuelle et règle du flux maximal

1. Déterminer l’inductance mutuelle [latex]M[/latex] entre les deux circuits.
   • Donner le champ magnétique créé par le solénoïde. Déterminer le flux de ce champ sur le cadre.
   • Quelle est la direction du champ créé par le solénoïde ? Quelle est celle de la surface élémentaire du cadre ?
   • Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?
2. On note [latex]L[/latex] et [latex]L'[/latex], les inductances propres respectives de la spire et du solénoïde. Donner l’énergie électromagnétique [latex]\mathcal{E}_{em}[/latex] stockée dans ces deux circuits.
3. Le solénoïde étant fixe, calculer le couple électromagnétique [latex]\Gamma=\left(\frac{\partial \mathcal{E}_{em}}{\partial \theta}\right)_{I,I’}[/latex] que subit la spire.
4. La règle du flux maximal stipule que les actions électromagnétiques agissent sur un circuit mobile de telle sorte qu’il soit traversé par un flux maximal. Vérifier que le système formé par la spire et le solénoïde suit bien cette règle.
   • Vers quelle position d’équilibre le couple électromagnétique ramène-t-il le cadre ? Pour quelle position du cadre le flux est-il maximal ?

2 – Étude d’un moteur synchrone

1. Déterminer la fréquence des tension statoriques quand [latex]n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}[/latex].
   • Écrire la condition de synchrone (donnée dans l’énoncé). Attention aux unités.
2. Représenter le diagramme vectoriel relatif à l’essai n°2. La résistance [latex]R[/latex] n’étant pas négligée, en déduire la valeur numérique de [latex]L[/latex].
   • Que vaut le courant dans l’essai n°1 ? Écrire la loi des mailles pour l’essai n°1 et en déduire la force contre-électromotrice.
   • Écrire la loi des mailles pour l’essai n°2 en utilisant la valeur de [latex]\Phi[/latex] donnée.
   • Écrire le théorème de Pythagore dans le triangle apparaissant sur le diagramme de Fresnel.
3. La valeur efficace de la force contre-électromotrice [latex]E[/latex] a pour expression [latex]E=\Phi_0\omega[/latex]. Quelle est l’unité de la constante [latex]\Phi_0[/latex] dans le système SI ? Que représente-t-elle ? De quels paramètres de la machine dépend-elle ? Montrer que [latex]E=A\Omega[/latex], où [latex]A[/latex] est une constante dont on précisera l’expression et la valeur numérique.
   • Utiliser la condition de synchronisme.
4. Dans toute la suite, on négligera la chute de tension ohmique ainsi que les pertes par effet Joule dans les circuits statoriques. Tracer un diagramme vectoriel représentatif d’un point de fonctionnement quelconque dans le cas où [latex]0\lt\Psi\lt\pi/2[/latex]. En déduire une relation entre [latex]V[/latex], [latex]E[/latex], [latex]\phi[/latex] et [latex]\Psi[/latex].
   • Écrire la loi des mailles dans un circuit statorique puis la représenter sur un diagramme de Fresnel. Représenter les angles [latex]\phi[/latex] et [latex]\Psi[/latex] sur le diagramme.
   • Relier géométriquement les projections de [latex]\underline{V}[/latex] et [latex]\underline{E}[/latex] sur l’axe des abscisses. En déduire une relation mathématique en utilisant la trigonométrie.
5. Déterminer l’expression de la puissance électrique [latex]P_a[/latex] absorbée par le moteur en fonction de [latex]V[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\phi[/latex], puis en fonction de [latex]E[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\Psi[/latex]. Quelle relation existe-t-il entre cette puissance électrique [latex]P_a[/latex] et la puissance mécanique électromagnétique [latex]P_m[/latex] reçue par le rotor ?
   • Attention, il y a deux phases à prendre en compte.
   • Rappel des hypothèses : pertes Joules négligeables.
6. Exprimer le couple électromécanique [latex]C[/latex] développé par le moteur en fonction de [latex]A[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\Psi[/latex]. Pour une intensité efficace [latex]I[/latex] donnée, que doit-on faire pour maximiser le couple développé par la machine ? De quelle unique variable le couple dépend-il alors ? À quelle autre moteur ce fonctionnement fait-il penser ?
   • Exprimer la puissance mécanique en fonction du couple et de la vitesse angulaire puis la relier avec l’expression de la question précédente.
   • Pour quelle valeur de [latex]\Psi[/latex] le couple est-il maximal ?
7. On se place sur un point de fonctionnement à [latex]\Psi⁼0[/latex], [latex]I=I_N[/latex] et [latex]n=\SI{1500}{tr.min^{-1}}[/latex]. Que vaut le moment du couple [latex]C[/latex] développé par le moteur ? Représenter le diagramme vectoriel représentatif du fonctionnement. Placer les vecteurs représentatifs des complexes [latex]\underline{E}[/latex], [latex]\underline{V}[/latex] et [latex]\underline{I}[/latex]. En déduire les expressions numériques de [latex]V[/latex] et [latex]\phi[/latex]. Calculer leurs valeurs numériques correspondantes.
   • Représenter le diagramme de Fresnel et utiliser la trigonométrie pour déterminer [latex]\phi[/latex] puis [latex]V[/latex].

3 – Alternateur d’une centrale hydroélectrique

1. Calculer l’intensité du courant d’induit nominal.
   • Exprimer la puissance apparente nominale en fonction de la tension nominale et du courant nominal.
2. Calculer la résistance synchrone [latex]X=L\omega[/latex] de chaque enroulement.
   • Utiliser le courant de court-circuit.
   • Représenter le circuit équivalent d’une phase en court-circuit.
   • Représenter le diagramme de Fresnel associé à la loi des mailles pour un induit court-circuité.
   • Utiliser le théorème de Pythagore.
3. Fonctionnement en charge. L’intensité du courant d’excitation vaut [latex]I_e=\SI{44}{A}[/latex], la tension efficace aux bornes d’une phase est \SI{8.64}{kV} et le facteur de puissance du réseau vaut [latex]\cos(\phi)=0.9[/latex] arrière (charge inductive). Représenter le schéma électrique d’une phase en négligeant la résistance [latex]R[/latex].
4. Représenter la loi des mailles sur un diagramme de Fresnel. Montrer que [latex](V\cos(\phi))^2+(V\sin(\phi)+IX)^2=E^2[/latex]. En déduire l’intensité efficace du courant dans une phase statorique.
   • Placer l’angle [latex]\phi[/latex] sur le diagramme.
   • Projeter [latex]jX\underline{X}[/latex] verticalement et horizontalement.
5. Calculer la puissance fournie au réseau et le rendement de l’alternateur sachant que l’ensemble des pertes mécaniques, ferromagnétiques et d’excitation valent [latex]P_p=\SI{2.4}{MW}[/latex].
   • Exprimer la puissance fournie au réseau par l’alternateur en fonction de [latex]V[/latex], [latex]I[/latex] et [latex]\cos(\phi)[/latex]. Attention, on étudie un alternateur diphasé.
   • Comment s’exprimer les pertes joules statoriques ?

4 – Détermination des paramètres d’un moteur synchrone

1. En régime permanent de rotation, quelle est la relation entre la vitesse de rotation du rotor [latex]\Omega[/latex] et [latex]\omega[/latex] ?
2. Rappeler le schéma électrique d’une phase en fonctionnement moteur et en fonctionnement générateur.
3. La valeur efficace de la force contre-électromotrice s’écrit sous la forme [latex]E=\Phi\omega[/latex], où [latex]\omega[/latex] désigne la vitesse de rotation du rotor. Que représente la grandeur [latex]\Phi[/latex] ? De quels paramètres dépend-elle ?
4. Afin de mesurer [latex]\Phi[/latex], on réalise un essai en circuit ouvert, le rotor de la machine synchrone étant entrainé par un moteur auxiliaire à la vitesse de \SI{6.0e3}{tr/min}, on mesure la tension efficace aux bornes d’une phase égale à \SI{1.2e2}{V}. Calculer la valeur de [latex]\Phi[/latex].
   • D’après la loi de Lenz-Faraday, quelle relation lie [latex]\underline{\Phi}[/latex] à [latex]\underline{E}[/latex] ?
   • Relier la tension aux bornes de l’induit à la force contre-électromotrice pour cet essai.
5. Pour mesurer la valeur de l’inductance d’une phase, on réalise un essai en court-circuit, le rotor étant toujours entrainé par le moteur auxiliaire à \SI{6.0e3}{tr/min}. Le dipôle de sortie d’une phase étant court-circuité, la mesure de l’intensité efficace du courant de court-circuit dans une phase donne la valeur [latex]I_{cc}=\SI{1.2e2}{A}[/latex]. Calculer l’inductance [latex]L[/latex] d’une phase.
   • Grâce à une loi des mailles, relier [latex]\underline{E}[/latex] à [latex]L[/latex], [latex]\omega[/latex] et [latex]\underline{I}[/latex] pour cet essai.

5 – DC motor lifting a mass

1. Ascertain the current [latex]i[/latex] and the voltage [latex]E_0[/latex] delivered by the generator as a function of [latex]M[/latex], [latex]g[/latex], [latex]a[/latex], [latex]\Phi_0[/latex], [latex]f[/latex], [latex]r[/latex], [latex]r_0[/latex].
   • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au système masse + cable + poulie + rotor.

6 – Rendement d’une génératrice à courant continu

1. Représenter le schéma électrique de l’induit alimentant la charge électrique (on placera la machine à courant continu en convension générateur). Préciser l’expression du couple électromagnétique qu’exerce la machine en fonction de [latex]\Phi_0[/latex] et [latex]i[/latex].
2. Calculer les valeurs de l’intensité du courant dans le charge et la vitesse de rotation de la machine.
   • Écrire une équation électrique et une équation mécanique et utiliser les relations entre grandeurs mécaniques et électriques pour une machine à courant continu.
   • Pour l’équation électrique, écrire la loi des mailles dans le circuit électrique équivalent de l’induit.
   • Pour l’équation mécanique, écrire le théorème du moment cinétique au rotor.
3. Définir puis calculer le rendement de conversion de la machine? La machine fonctionne-t-elle dans les conditions nominales ?
   • Calculer la tension aux bornes du moteur. Est-elle égale à la tension nominale ?