Conversion de puissance 2 – Transformateur

1 – Impedance matching

1. At which condition on the transformation ratio [latex]m[/latex] is the power dissipated by the resistor [latex]R_2[/latex] maximal ?
   • Quelle est la tension aux bornes de [latex]R_2[/latex] (en fonction de [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex], [latex]m[/latex] et [latex]e[/latex]) ?
   • Ramener le primaire au secondaire puis effectuer un pont diviseur de tension.

2 – Utilisation d’un transformateur

1. Exprimer [latex]v_1[/latex] en fonction de [latex]e[/latex], [latex]R_0[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]m[/latex].
   • Ramener le secondaire au primaire.
   • Associer les deux résistances [latex]\frac{R_2}{m^2}[/latex] et [latex]r_1[/latex] en parallèle puis faire un pont diviseur de tension.
2. En déduire [latex]i_2[/latex] en fonction de [latex]e[/latex], [latex]R_0[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]m[/latex].
   • Que vaut la tension [latex]v_2[/latex] ?
   • Utiliser la loi d’Ohm.
3. Application numérique : que vaut la valeur efficace de [latex]i_2[/latex] dans le cas où [latex]R_0 = R_1 = R_2 = \SI{1e2}{\ohm}[/latex], [latex]e = \SI{2}{V_{eff}}[/latex] et [latex]m = 10[/latex] ?

3 – Etude graphique d’un cycle d’hystérésis

1. Pourquoi est-il judicieux de choisir un tore ?
   • Prendre sous les yeux la simulation des lignes de champ dans un circuit magnétique sans entrefer (chapitre électromagnétisme 4).
   • A quels endroits ont lieu les fuites de ligne de champ ?
2. Dans ce montage, le circuit [latex]RC[/latex] (entrée [latex]u_2[/latex], sortie [latex]v_y[/latex]) fonctionne en intégrateur. Quelle condition la capacité [latex]C[/latex] doit-elle satisfaire pour cela ? Quelle(s) valeur(s) peut-on choisir pour [latex]C[/latex] parmi les valeurs usuelles suivantes : [latex]\SI{10}{nF}, \SI{47}{nF}, \SI{100}{nF}, \SI{1}{\micro F}[/latex] et [latex]\SI{4,7}{\micro F}[/latex] ?
   • Exprimer la fonction de transfert du filtre RC.
   • A quelle condition la fonction de transfert du filtre RC correspond-elle à un intégrateur ?
3. Exprimer [latex]H[/latex] en fonction de [latex]v_x[/latex] et expliquer pourquoi le montage permet de visualiser le cycle d’hystérésis.
   • Relier [latex]H[/latex] au courant [latex]i_1[/latex]. Relier [latex]i_1[/latex] à [latex]v_x[/latex].
   • Appliquer le théorème d’Ampère sur une ligne de champ moyenne.
4. Déterminer, en précisant les unités, les expressions numériques de [latex]H[/latex] en fonction de [latex]v_x[/latex] puis de [latex]B[/latex] en fonction de [latex]v_y[/latex].
   • Il s’agit de faire l’application numérique des coefficients de proportionnalité entre [latex]H[/latex] et [latex]v_x[/latex] et entre [latex]B[/latex] et [latex]v_y[/latex].
5. Déduire de cet oscillogramme les valeurs approximatives (à [latex]20\%[/latex] près) du champ magnétique rémanent [latex]B_r[/latex], de l’aimantation rémanente [latex]M_r[/latex] et du champ coercitif [latex]H_c[/latex].
   • Lire graphiquement les tensions [latex]v_x[/latex] et [latex]v_y[/latex] correspondant au champ rémanent et à l’excitation coercitive puis les convertir avec les résultats de la question précédente.
6. Établir la relation liant [latex]P_H[/latex], valeur moyenne de [latex]p_H[/latex], à l’aire [latex]\mathcal{A}[/latex] du cycle d’hystérésis représentant l’évolution de [latex]B[/latex] en fonction de [latex]H[/latex].
7. Sur l’oscillogramme, on évalue l’aire du cycle à 6 carreaux. En déduire la valeur de la puissance moyenne [latex]P_H[/latex] dissipée à cause du phénomène d’hystérésis dans l’ensemble du tore dans l’essai réalisé.
   • Utiliser les relations des questions précédentes pour convertir l’aire en carreaux en [latex]V^2[/latex] puis en [latex]A.m^{-1}.T[/latex].
8. A-t-on intérêt pour la fabrication des transformateurs à utiliser un matériau ferromagnétique ayant un champ coercitif important ou faible au contraire ? Justifier
   • L’aire du cycle d’hystérésis doit-elle être faible ou importante pour réduire les pertes ?