Électromagnétisme 1 – Champ électrique en régime stationnaire

1 – Electric field ans potentiel created by a uniformly charged ball

1. Ascertain the electric field and then the electric potential in every point of space. The electric potential is taken null far away from the ball.
   • Il faut d’abord exprimer le champ électrique puis déterminer le potentiel électrique.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
   • Pour exprimer la charge intérieure, il est nécessaire de distinguer les cas.
   • Une fois le champ électrique exprimé, utiliser la relation [latex]\vec{E}=-\vec{\text{grad}}V[/latex] pour trouver [latex]V[/latex].
   • L’analyse des symétries et des invariances permet de simplifier l’expression de [latex]\vec{\text{grad}}V[/latex] donnée dans l’énoncé.
   • Déterminer d’abord la constante d’intégration dans le cas [latex]r\gt R[/latex] puis trouver celle dans l’autre cas par continuité de [latex]V[/latex] en [latex]R[/latex].
   • La constante d’intégration peut être déterminée grâce au fait que [latex]V(r)[/latex] est nul très lion de la boule.
2. Plot [latex]E(r)[/latex] ans [latex]V(r)[/latex] as a function of [latex]r[/latex].

2 – Champ de gravitation

1. Calculer numériquement les valeurs de [latex]\mu_0[/latex] et [latex]a[/latex].
   • La masse volumique de la planète et la masse volumique des roches superficielles donnent deux équations qui permettent de trouver [latex]\mu_0[/latex] et [latex]a[/latex].
   • Comment la masse totale de la planète s’exprime-t-elle en fonction d’une intégrale de [latex]\mu(r)[/latex] ?
2. Établir l’expression littérale du champ de gravitation créé par la planète dans tout l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
3. Pour quel rayon le champ de gravitation est-il maximal à l’intérieur de la planète ? L’exprimer en fonction de [latex]R[/latex].
   • Dériver [latex]g(r)[/latex] pour trouver son extrémum.

3 – Dipôle électrostatique

1. Déterminer le potentiel électrique créé par chacune des charges en fonction de [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex], en supposant celui-ci nul à l’infini. En déduire le potentiel électrique créé par le dipôle constitué des deux charges.
   • Quel est le champ électrique créé par une particule ponctuelle chargée à l’origine du repère ? Quel est le potentiel électrique associé ?
2. Dans l’approximation où [latex]r>>a[/latex], montrer que l’expression du champ électrique total s’écrit [latex display= »true »]V(M)=\frac{1}{4\pi\epsilon_0r^2}\vec{d}.\vec{e_r}[/latex] où on exprimera [latex]\vec{d}[/latex]. Le vecteur [latex]\vec{d}[/latex] est appelé moment dipolaire, à ne pas confondre avec la distance [latex]d[/latex].
   • Utiliser le théorème de superposition et faire le développement limité de [latex]V[/latex] au premier ordre non nul.
   • Utiliser la relation de Chasles pour relier [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex] à [latex]r[/latex].
3. En déduire l’expression du champ électrique dans la même approximation.
   • Utiliser la relation entre [latex]v[/latex] et [latex]\vec{E}[/latex] et la définition fournie du gradient en coordonnées sphériques.

4 – Condensateur cylindrique

1. Que signifie << négliger les effets de bord >> ?
2. Établir l’expression du champ électrique en tout point de l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la surface de Gauss, théorème de Gauss.
3. Établir l’expression de la différence de potentiel entre les deux armatures.
   • Utiliser l’expression de la circulation de [latex]\vec{E}[/latex] entre deux points placés sur l’un et l’autre des cylindres.
4. En déduire l’expression de la capacité du condensateur cylindrique.