Électromagnétisme 2 – Champ magnétique en régime stationnaire

1 – Orage

1. Faire un schéma et expliqué pourquoi les électrons de ce courant sont soumis à une force magnétique de Lorentz. Quel est son sens ?
   • Quelle est la direction de la vitesse des électrons ? Quelle est la direction du champ magnétique créé par le courant ?
2. Exprimer le vecteur densité volumique de courant [latex]\vec{j}[/latex].
   • Relier le courant à [latex]\vec{j}[/latex]. Utiliser le fait que [latex]\vec{j}[/latex] est uniforme dans le cylindre.
3. Déterminer [latex]\vec{B}[/latex] au niveau du bord du conduit et exprimer la norme de cette force magnétique par unité de volume en fonction de [latex]I[/latex] et [latex]a[/latex].
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la courbe d’Ampère, théorème d’Ampère.
   • On demande [latex]\vec{B}[/latex] seulement au bord du cylindre (en [latex]r=a[/latex]).
4. Le sens de la force change-t-il si le courant est descendant ?
   • Quel serait alors le sens de la vitesse des électrons ? Quel serait alors le sens du champ magnétique ?
5. Faire l’application numérique de cette force et la comparer au poids volumique de l’air. Pourquoi les éclairs causent-ils le tonnerre\footnote{L’éclair est le résulultat visible du passage du courant tandisque le tonnerre est le son produit} ?
   • Relier le poids volumique de l’air à la masse volumique de l’air.
   • La masse volumique de l’air est [latex]\rho_\text{air}=1kg.m^{-3}[/latex].
   • Que peut-il se produire si l’air est subitement soumis à une force très intense ?

2 – Bobine torique

1. Faire un schéma du système.
2. Montrer que le champ magnétique qui règne en un point [latex]M(x,y)[/latex] quelconque du plan [latex]xOy[/latex] à l’intérieur du tore peut s’exprimer sous la forme [latex]B=\frac{\mu_0nI}{2\pi r}[/latex].
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, analyse des symétries, choix de la courbe d’Ampère, théorème d’Ampère.
3. Déterminer le flux [latex]\Phi[/latex] du champ magnétique à travers la surface d’\textbf{une} spire dont la normale est orientée dans le sens du champ.
   • Représenter la surface sur le schéma.
   • Selon quelles variables faut-il intégrer ? Entre quelles bornes ?
   • Quelle est l’expression d’un élément de surfaces orienté selon [latex]\vec{e_\theta}[/latex]

3 – Câble coaxial

1. Montrer que le champ magnétique [latex]\vec{B}[/latex] créé au point [latex]M[/latex] est orienté selon [latex]\vec{e_\theta}[/latex].
2. Montrer qu’il peut se mettre sous la forme [latex]\vec{B}=B(r)\vec{u_\theta}[/latex].
3. Préciser alors la forme des lignes de champ.
   • Les lignes de champ sont en tout point colinéaires à [latex]\vec{B}[/latex].
4. Montrer que le champ magnétique créé au point [latex]M[/latex] est nul si [latex]r>R_3[/latex].
   • Quel est le courant enlacé dans ce cas ?
5. Calculer les densités de courant [latex]\vec{j_1}[/latex] et [latex]\vec{j_2}[/latex], respectivement dans le conducteur central et du conducteur périphérique en fonction des courants [latex]I[/latex] et [latex]-I[/latex] et des rayons [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex] et [latex]R_3[/latex].
   • Quelle est l’aire du disque de rayon [latex]R_1[/latex] ? Quelle est l’aire du disque percé situé entre [latex]R_2[/latex] et [latex]R_3[/latex] ?
   • Relier le courant électrique et la densité volumique de courant [latex]j[/latex].
6. En appliquant le théorème d’Ampère à un contour [latex]\mathcal{C}[/latex] que l’on précisera, donner l’expression de la composante [latex]B(r)[/latex] du champ magnétique créé au point [latex]M[/latex] en fonction de [latex]\mu_0[/latex], [latex]I[/latex], [latex]r[/latex], [latex]R_1[/latex], [latex]R_2[/latex], et [latex]R_3[/latex] dans chacun des cas suivants : [latex]r
7. La courbe d’Ampère doit être choisie de sorte que [latex]\vec{dl}[/latex] soit colinéaire à [latex]\vec{B}[/latex] afin de simplifier les calculs.
8. Tracer l’allure du graphe de [latex]B(r)[/latex].