Électromagnétisme 3 – ARQS magnétique

1 – Inductance d’un câble coaxial

1. Déterminer l’orientation du champ magnétique \vec{B}(M) créé par ce câble ainsi que les variables dont il peut dépendre en un point M quelconque de l’espace.
   • Procéder par analyse des symétries et des invariances.
2. Déterminer \vec{B}(M) pour un point intérieur à l’âme (r\lt a), ou extérieur à la gaine (b\lt r). Justifier.
   • Quel est le courant entouré par la courbe d’Ampère dans les deux cas ?
3. Exprimer le champ magnétostatique \vec{B}(M) créé par ce câble en tout point M situé à la distance r de son axe, a\lt r\lt b.
   • Appliquer le théorème d’Ampère.
4. Déterminer le flux de \vec{B}(M) à travers une surface rectangulaire PQRS correspondant à une longueur l du câble, orientée dans le sens de +\vec{e_\theta}.
   • Quelle est l’expression du \vec{dS} correspondant en coordonnées cylindriques ?
5. Rappeler l’expression générale qui lie le flux de \vec{B}(M) à l’inductance propre (ou coefficient d’auto-inductance) et en déduire l’inductance L d’une longueur l du câble en fonction de \mu_0, l, a et b.
6. Application numérique pour un câble standard, où l=\SI{1}{m}, a=\SI{1}{mm} et b=\SI{3}{mm}.

2 – Mutual inductuance between a wire and a frame

1. Ascertain the mutual inductance between the two circuits.
   • Bien que l’inductance mutuelle soit une propriété « géométrique », il peut être utile d’introduire le courant passant dans un des conducteurs.
   • Les deux possibilités sont de déterminer le champ magnétique créé par le cadre puis son flux sur le fil ou de déterminer le champ magnétique créé par le fil puis son flux sur le cadre. Une de ces deux options est plus facile.
   • Déterminer le champ magnétique créé par le fil dans tout l’espace. Quel est son flux sur le cadre ?
   • Quelle relation relie le flux mutuel et l’inductance mutuelle ?

3 – Inductance propre d’un tore

1. Calculer le champ magnétique créé par le courant d’intensité i(t) dans tout l’espace.
   • Effectuer les 4 étapes : analyse des invariances, des symétries, choix de la courbe d’Ampère et théorème d’Ampère.
2. En déduire l’expression de l’inductance propre \mathcal{L}. Calculer numériquement \mathcal{L} pour N=\SI{100}{} et N=\SI{1000}{}. On donne a=\SI{1e-2}{cm} et R=\SI{5e-2}{cm}.
   • Quelle relation relie le flux propre et l’inductance propre ?
3. Montrer que lorsque R\gg a, on peut considérer que le champ est uniforme sur un section droite et déterminer sa valeur.
   • Pour montrer que B est uniforme, on peut montrer que sa valeur maximale (en r=R-a/2) est environ égale à sa valeur minimale (en r=R+a/2)
4. Déterminer la densité d’énergie électromagnétique puis l’énergie totale stockée dans tout l’espace et donner son expression en fonction de \mathcal{L} et i(t). Commenter le résultat obtenu.