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1 – Oscillateur à filtre RLC
- Déterminer la fonction de transfert [latex]H(p)=\dfrac{S(p)}{E(p)}[/latex] du filtre RLC-série.
- Déterminer l’impédance équivalente de [latex]L[/latex], [latex]r[/latex] et [latex]C[/latex] en série puis utiliser un pont diviseur de tension.
- Donner la fonction de transfert du montage amplificateur non-inverseur.
- À quelle condition observe-t-on des oscillations quasi-sinusoïdales ?
- Utiliser les deux fonctions de transfert des questions précédentes.
- Remplacer [latex]E(p)[/latex] dans la fonction de transfert du filtre en utilisant la fonction de transfer de l’amplificateur non-inverseur puis éliminer [latex]E(p)[/latex]
- Éliminer les traits de fraction puis prendre la partie réelle et la partie imaginaire.
- Quelle est l’amplitude de [latex]e(t)[/latex] ? Quelle est celle de [latex]s(t)[/latex] ?
- Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?
- Quelle est l’amplitude maximale de la tension de sortie d’un ALI ?
- Utiliser une des fonctions de transfert pour relier les amplitudes de [latex]s[/latex] et de [latex]e[/latex].
- Laquelle de ces deux tensions est la << plus sinusoïdale >> ?
- Est-ce le filtre passe bande ou l’ALI qui a tendance à « purifier » le spectre ?
- À quelle condition les oscillations démarrent-elles ?
- Établir une équation différentielle portant sur [latex]e[/latex] ou [latex]s[/latex].
- Combiner les fonctions de transfert pour éliminer [latex]E[/latex] ou [latex]S[/latex], supprimer les traits de fraction puis passer en temporel.
2 – Oscillateur à décharge de condensateur
- Identifier le filtre passif inclus dans ce montage. Quelle est sa fonction de transfert ? Quelle est l’équation différentielle associée ?
- Le montage est constitué d’un comparateur à hystérésis et d’un filtre qu’il s’agit d’identifier.
- Le filtre RC-série est-il un filtre passe-haut ou passe-bas ? Quelle est la forme canonique d’une fonction de transfer de ce type ?
- Résoudre cette équation différentielle en supposant [latex]V_s[/latex] constant.
- Quel montage de l’ALI reconnait-on dans ce montage ? Donner sa caractéristique [latex](V_s,V_-)[/latex].
- En cas d’hésitation entre comparateur à hystérésis positif et négatif, regarder où se fait l’entrée.
- En supposant qu’à [latex]t=0[/latex], [latex]V_s=+V_\text{sat}[/latex] et [latex]V_-=[/latex], tracer [latex]V_-(t)[/latex] et [latex]V_s(t)[/latex].
- Tracer [latex]V_-(t)[/latex] en supposant que [latex]V_s(t)=+V_\text{sat}[/latex]. Jusqu’à quand ce tracé reste-t-il valable ?
- À quelle condition [latex]V_s[/latex] passe-t-il de [latex]+V_\text{sat}[/latex] à [latex]-V_\text{sat}[/latex] ?
- Que vaut la période des signaux produits ?
- Déterminer la demi-période, c’est-à-dire le temps nécessaire pour que [latex]V_-[/latex] passe de [latex]\frac{R_2}{R_1+R_2}V_\text{sat}[/latex] à [latex]\frac{R_2}{R_1+R_2}V_\text{sat}[/latex].
- Résoudre complètement (constante comprise) l’équation différentielle vérifiée par [latex]V_-[/latex] sur une demi période. On pourra appeler [latex]t_1[/latex] le début de cette demi-période et [latex]t_2[/latex] sa fin.
3 – Oscillateur à résistance négative
- Déterminer une relation entre la tension [latex]u[/latex] et la tension de sortie de l’ALI.
- Le montage est-il stable ? Que peut-on dire de l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] ?
- À l’aide d’un pont diviseur de tension entre les résistances [latex]R_1[/latex] et d’une loi des mailles, relier l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] à [latex]u[/latex] et la sortie de l’ALI.
- En utilisant la loi d’Ohm, en déduire l’impédance d’entrée du montage [latex]Z_e=\frac{\underline{u}}{\underline{i}}[/latex].
- Écrire la loi d’Ohm dans la résistance [latex]R[/latex].
- Utiliser la fonction de transfer de la question précédente pour éliminer la tension de sortie de l’ALI dans la loi d’Ohm.
- Déterminer une équation différentielle sur [latex]i[/latex].
- Appliquer la loi des mailles et utiliser les caractéristiques de différents composants.
- Dériver la loi des mailles et utiliser que [latex]u_L=-L\frac{di}{dt}[/latex], [latex]i_c=-C\frac{di}{dt}[/latex], [latex]u_r=-Ri[/latex] et [latex]u=Z_ei[/latex].
- Sous quelles conditions sur la valeur de [latex]R[/latex] les oscillations démarrent-elles ?
- A quelle condition les solutions de l’équation différentielle précédente divergent-elles ?
4 – Hartley oscillator
- Using Kirchhoff’s nodal rule in [latex]A[/latex], express its potential as a function of the voltages [latex]e[/latex] and [latex]s[/latex].
- Si la relation des nœuds en tension n’est pas connue, appliquer la loi des nœuds et remplacer chaque courant en faisant apparaitre une tension grâce à la loi d’Ohm (en complexes) dans [latex]R[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]C[/latex].
- Ascertain [latex]s[/latex] as a function of the potential in [latex]A[/latex] thanks to the voltage diviser law. With the help of the previous question, determine the transfer function of the Hartley filter.
- Which operational amplifier assembly can be recognized ? Give its transfer function without any demonstration.
- Pour reconnaitre le montage à ALI, celui-ci est-il stable ou instable ? L’entrée est-elle « côté » borne inverseuse ou non-inverseuse ?
- Under which condition do the oscillations \textbf{start} ?
- Obtenir une équation différentielle portant sur [latex]s[/latex] ou sur [latex]e[/latex].
- Transformer la fonction de transfert du filtre de Hartley en une équation différentielle sur [latex]s[/latex] et [latex]e[/latex]. Remplacer l’un des deux en utilisant la relation entrée-sortie d’un amplificateur non-inverseur.
- Les solutions de l’équation différentielle doivent-elles converger ou diverger pour que les oscillations démarrent.
- How sinusoidal oscillations can be obtained ? What will be their frequency ?
- En partant de la fonction de transfert du filtre de Hartley, éliminer [latex]E[/latex] et [latex]S[/latex].
- Éliminer les fractions de l’équation ainsi obtenue et en prendre partie réelle et partie imaginaire.
- What is the amplitude of [latex]e[/latex] ? What is the one of [latex]s[/latex] ?
- Quelles sont les amplitudes de [latex]e[/latex] et [latex]s[/latex] ?
- Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?
- Which voltage will be the most sinusoidal ?
- Est-ce l’amplificateur non-inverseur ou le filtre de Hartley qui « purifie » le spectre de son entrée ?
- Déterminer l’impédance équivalente de [latex]L[/latex], [latex]r[/latex] et [latex]C[/latex] en série puis utiliser un pont diviseur de tension.
- Utiliser les deux fonctions de transfert des questions précédentes.
- Remplacer [latex]E(p)[/latex] dans la fonction de transfert du filtre en utilisant la fonction de transfer de l’amplificateur non-inverseur puis éliminer [latex]E(p)[/latex]
- Éliminer les traits de fraction puis prendre la partie réelle et la partie imaginaire.
- Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?
- Quelle est l’amplitude maximale de la tension de sortie d’un ALI ?
- Utiliser une des fonctions de transfert pour relier les amplitudes de [latex]s[/latex] et de [latex]e[/latex].
- Est-ce le filtre passe bande ou l’ALI qui a tendance à « purifier » le spectre ?
- Établir une équation différentielle portant sur [latex]e[/latex] ou [latex]s[/latex].
- Combiner les fonctions de transfert pour éliminer [latex]E[/latex] ou [latex]S[/latex], supprimer les traits de fraction puis passer en temporel.
- Identifier le filtre passif inclus dans ce montage. Quelle est sa fonction de transfert ? Quelle est l’équation différentielle associée ?
- Le montage est constitué d’un comparateur à hystérésis et d’un filtre qu’il s’agit d’identifier.
- Le filtre RC-série est-il un filtre passe-haut ou passe-bas ? Quelle est la forme canonique d’une fonction de transfer de ce type ?
- Résoudre cette équation différentielle en supposant [latex]V_s[/latex] constant.
- Quel montage de l’ALI reconnait-on dans ce montage ? Donner sa caractéristique [latex](V_s,V_-)[/latex].
- En cas d’hésitation entre comparateur à hystérésis positif et négatif, regarder où se fait l’entrée.
- En supposant qu’à [latex]t=0[/latex], [latex]V_s=+V_\text{sat}[/latex] et [latex]V_-=[/latex], tracer [latex]V_-(t)[/latex] et [latex]V_s(t)[/latex].
- Tracer [latex]V_-(t)[/latex] en supposant que [latex]V_s(t)=+V_\text{sat}[/latex]. Jusqu’à quand ce tracé reste-t-il valable ?
- À quelle condition [latex]V_s[/latex] passe-t-il de [latex]+V_\text{sat}[/latex] à [latex]-V_\text{sat}[/latex] ?
- Que vaut la période des signaux produits ?
- Déterminer la demi-période, c’est-à-dire le temps nécessaire pour que [latex]V_-[/latex] passe de [latex]\frac{R_2}{R_1+R_2}V_\text{sat}[/latex] à [latex]\frac{R_2}{R_1+R_2}V_\text{sat}[/latex].
- Résoudre complètement (constante comprise) l’équation différentielle vérifiée par [latex]V_-[/latex] sur une demi période. On pourra appeler [latex]t_1[/latex] le début de cette demi-période et [latex]t_2[/latex] sa fin.
3 – Oscillateur à résistance négative
- Déterminer une relation entre la tension [latex]u[/latex] et la tension de sortie de l’ALI.
- Le montage est-il stable ? Que peut-on dire de l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] ?
- À l’aide d’un pont diviseur de tension entre les résistances [latex]R_1[/latex] et d’une loi des mailles, relier l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] à [latex]u[/latex] et la sortie de l’ALI.
- En utilisant la loi d’Ohm, en déduire l’impédance d’entrée du montage [latex]Z_e=\frac{\underline{u}}{\underline{i}}[/latex].
- Écrire la loi d’Ohm dans la résistance [latex]R[/latex].
- Utiliser la fonction de transfer de la question précédente pour éliminer la tension de sortie de l’ALI dans la loi d’Ohm.
- Déterminer une équation différentielle sur [latex]i[/latex].
- Appliquer la loi des mailles et utiliser les caractéristiques de différents composants.
- Dériver la loi des mailles et utiliser que [latex]u_L=-L\frac{di}{dt}[/latex], [latex]i_c=-C\frac{di}{dt}[/latex], [latex]u_r=-Ri[/latex] et [latex]u=Z_ei[/latex].
- Sous quelles conditions sur la valeur de [latex]R[/latex] les oscillations démarrent-elles ?
- A quelle condition les solutions de l’équation différentielle précédente divergent-elles ?
4 – Hartley oscillator
- Using Kirchhoff’s nodal rule in [latex]A[/latex], express its potential as a function of the voltages [latex]e[/latex] and [latex]s[/latex].
- Si la relation des nœuds en tension n’est pas connue, appliquer la loi des nœuds et remplacer chaque courant en faisant apparaitre une tension grâce à la loi d’Ohm (en complexes) dans [latex]R[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]C[/latex].
- Ascertain [latex]s[/latex] as a function of the potential in [latex]A[/latex] thanks to the voltage diviser law. With the help of the previous question, determine the transfer function of the Hartley filter.
- Which operational amplifier assembly can be recognized ? Give its transfer function without any demonstration.
- Pour reconnaitre le montage à ALI, celui-ci est-il stable ou instable ? L’entrée est-elle « côté » borne inverseuse ou non-inverseuse ?
- Under which condition do the oscillations \textbf{start} ?
- Obtenir une équation différentielle portant sur [latex]s[/latex] ou sur [latex]e[/latex].
- Transformer la fonction de transfert du filtre de Hartley en une équation différentielle sur [latex]s[/latex] et [latex]e[/latex]. Remplacer l’un des deux en utilisant la relation entrée-sortie d’un amplificateur non-inverseur.
- Les solutions de l’équation différentielle doivent-elles converger ou diverger pour que les oscillations démarrent.
- How sinusoidal oscillations can be obtained ? What will be their frequency ?
- En partant de la fonction de transfert du filtre de Hartley, éliminer [latex]E[/latex] et [latex]S[/latex].
- Éliminer les fractions de l’équation ainsi obtenue et en prendre partie réelle et partie imaginaire.
- What is the amplitude of [latex]e[/latex] ? What is the one of [latex]s[/latex] ?
- Quelles sont les amplitudes de [latex]e[/latex] et [latex]s[/latex] ?
- Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?
- Which voltage will be the most sinusoidal ?
- Est-ce l’amplificateur non-inverseur ou le filtre de Hartley qui « purifie » le spectre de son entrée ?
- Le montage est-il stable ? Que peut-on dire de l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] ?
- À l’aide d’un pont diviseur de tension entre les résistances [latex]R_1[/latex] et d’une loi des mailles, relier l’entrée différentielle [latex]\epsilon[/latex] à [latex]u[/latex] et la sortie de l’ALI.
- Écrire la loi d’Ohm dans la résistance [latex]R[/latex].
- Utiliser la fonction de transfer de la question précédente pour éliminer la tension de sortie de l’ALI dans la loi d’Ohm.
- Appliquer la loi des mailles et utiliser les caractéristiques de différents composants.
- Dériver la loi des mailles et utiliser que [latex]u_L=-L\frac{di}{dt}[/latex], [latex]i_c=-C\frac{di}{dt}[/latex], [latex]u_r=-Ri[/latex] et [latex]u=Z_ei[/latex].
- A quelle condition les solutions de l’équation différentielle précédente divergent-elles ?
- Using Kirchhoff’s nodal rule in [latex]A[/latex], express its potential as a function of the voltages [latex]e[/latex] and [latex]s[/latex].
- Si la relation des nœuds en tension n’est pas connue, appliquer la loi des nœuds et remplacer chaque courant en faisant apparaitre une tension grâce à la loi d’Ohm (en complexes) dans [latex]R[/latex], [latex]L[/latex] et [latex]C[/latex].
- Ascertain [latex]s[/latex] as a function of the potential in [latex]A[/latex] thanks to the voltage diviser law. With the help of the previous question, determine the transfer function of the Hartley filter.
- Which operational amplifier assembly can be recognized ? Give its transfer function without any demonstration.
- Pour reconnaitre le montage à ALI, celui-ci est-il stable ou instable ? L’entrée est-elle « côté » borne inverseuse ou non-inverseuse ?
- Under which condition do the oscillations \textbf{start} ?
- Obtenir une équation différentielle portant sur [latex]s[/latex] ou sur [latex]e[/latex].
- Transformer la fonction de transfert du filtre de Hartley en une équation différentielle sur [latex]s[/latex] et [latex]e[/latex]. Remplacer l’un des deux en utilisant la relation entrée-sortie d’un amplificateur non-inverseur.
- Les solutions de l’équation différentielle doivent-elles converger ou diverger pour que les oscillations démarrent.
- How sinusoidal oscillations can be obtained ? What will be their frequency ?
- En partant de la fonction de transfert du filtre de Hartley, éliminer [latex]E[/latex] et [latex]S[/latex].
- Éliminer les fractions de l’équation ainsi obtenue et en prendre partie réelle et partie imaginaire.
- What is the amplitude of [latex]e[/latex] ? What is the one of [latex]s[/latex] ?
- Quelles sont les amplitudes de [latex]e[/latex] et [latex]s[/latex] ?
- Qu’est-ce qui limite l’amplitude des oscillations ?
- Which voltage will be the most sinusoidal ?
- Est-ce l’amplificateur non-inverseur ou le filtre de Hartley qui « purifie » le spectre de son entrée ?