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1 – Conduction thermique dans un mur
- Quelles sont les conditions aux limites vérifiées à chaque interface (par [latex]T[/latex] ou par [latex]\vec{j}[/latex]) ?
- A quelle condition [latex]\vec{j}[/latex] est-il continu ?
- A quelle condition [latex]T[/latex] est-il continu ?
- Calculer la résistance thermique associée à chaque partie du mur (en pierre et en laine de verre).
- Appliquer la formule du cours reliant résistance thermique, épaisseur, surface et conductivité thermique.
- Montrer que la loi de Newton peut donner lieu à une résistance thermique qu’on précisera.
- Exprimer la différence de température en fonction du flux thermique pour la loi de Newton.
- Tracer le circuit équivalent et calculer la résistance équivalente.
- Le circuit comporte 4 résistances thermiques.
- Quelle puissance doit fournir le radiateur de la pièce ?
- Calculer le flux total traversant le mur.
- Effectuer un bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison pour montrer que la puissance fournie par le chauffage doit compenser exactement la puissance perdue par les murs.
2 – Fil parcouru par un courant électrique
- Dans quelle direction de déplace les charges ? Même question pour la chaleur.
- Utiliser la loi de Fourier et la loi d’Ohm locale.
- Établir l’équation de la diffusion thermique en prenant en compte la puissance produite par effet Joule.
- Faire un bilan d’énergie sur un cylindre creux ou un volume infinitésimal.
- Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et pour une température extérieure du fil [latex]T_0[/latex] connue. Tracer [latex]T(r)[/latex].
- Utiliser comme condition aux limites le fait que [latex]j[/latex] et [latex]T[/latex] ne divergent pas en [latex]0[/latex].
- Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et avec comme condition aux limites la loi de Newton : [latex]\vec{j}_\text{thé} = h (T(R)-T_\text{air})\vec{e}[/latex] où [latex]\vec{e}[/latex] est dirigé vers l’extérieur du fil. Tracer [latex]T(r)[/latex].
3 – Size of marine mammals
- Establish the thermal diffusion equation in water (in spherical coordinates).
- Faire un bilan d’énergie sur un volume infinitésimal ou une boule creuse.
- Ascertain the temperature [latex]T(r)[/latex] around the animal in stationnary state.
- Résoudre l’équation précédente en régime stationnaire.
- Determine the thermal power lost by the mammal by integrating [latex]\vec{j}_\text{th}[/latex].
- La puissance perdue par l’animal est le flux thermique sortant de l’animal en [latex]r=R[/latex].
- Explain why there is no small aquatic mammal.
- Déterminer la puissance volumique produite par l’animal et montrer qu’elle est d’autant plus grande que l’animal est petit.
4 – Ailette de refroidissement
- Montrer que l’équation différentielle vérifiée par [latex]T(x)[/latex] peut se mettre sous la forme [latex]\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{T(x)-T_a}{L^2}=0[/latex] où on exprimera [latex]L[/latex] en fonction de [latex]\lambda[/latex], [latex]h[/latex] et [latex]e[/latex]. Calculer la valeur numérique de [latex]L[/latex].
- Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?
- Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en [latex]x[/latex] et en [latex]x+dx[/latex] et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.
- Justifier les deux conditions aux limites suivantes : [latex]T(0)=T_0[/latex] et [latex]-\lambda \frac{dT}{dx}(x=l) = h(T(l)-T_a)[/latex].
- Écrire la continuité du flux thermique en [latex]x=l[/latex].
- Exprimer [latex]T(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] et le mettre sous la forme : [latex]T(x)=T_1+T_2(\cosh(\frac{x}{L})-f(l,L,\lambda,h)\sinh(\frac{x}{L}))[/latex].
- Montrer que compte tenu de la longueur de l’ailette, la température de l’ailette est approximativement constante et égale à [latex]T_0[/latex] (on montrera que l’erreur relative commise sous cette hypothèse est inférieur à [latex]1\%[/latex]). On considère maintenant la température de l’ailette égale à [latex]T_0[/latex].
- Faire l’application numérique du terme en facteur de [latex]T_0[/latex].
- Calculer l’expression de la puissance thermique [latex]\mathcal{P}[/latex] échangée entre l’ailette et l’air.
- Déterminer la puissance thermique [latex]\mathcal{P}'[/latex] échangée entre le corps de température [latex]T_0[/latex] et l’air ambiant par la surface d’air [latex]S’=Avé[/latex] en l’absence d’ailette ([latex]S'[/latex] est la surface de la base de l’ailette). En déduire l’expression de l’efficacité [latex]\eta = \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}’}[/latex]. Calculer la valeur.
- A quelle condition [latex]\vec{j}[/latex] est-il continu ?
- A quelle condition [latex]T[/latex] est-il continu ?
- Appliquer la formule du cours reliant résistance thermique, épaisseur, surface et conductivité thermique.
- Exprimer la différence de température en fonction du flux thermique pour la loi de Newton.
- Le circuit comporte 4 résistances thermiques.
- Calculer le flux total traversant le mur.
- Effectuer un bilan d’énergie sur l’intérieur de la maison pour montrer que la puissance fournie par le chauffage doit compenser exactement la puissance perdue par les murs.
- Dans quelle direction de déplace les charges ? Même question pour la chaleur.
- Utiliser la loi de Fourier et la loi d’Ohm locale.
- Établir l’équation de la diffusion thermique en prenant en compte la puissance produite par effet Joule.
- Faire un bilan d’énergie sur un cylindre creux ou un volume infinitésimal.
- Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et pour une température extérieure du fil [latex]T_0[/latex] connue. Tracer [latex]T(r)[/latex].
- Utiliser comme condition aux limites le fait que [latex]j[/latex] et [latex]T[/latex] ne divergent pas en [latex]0[/latex].
- Intégrer l’équation de diffusion en régime stationnaire et avec comme condition aux limites la loi de Newton : [latex]\vec{j}_\text{thé} = h (T(R)-T_\text{air})\vec{e}[/latex] où [latex]\vec{e}[/latex] est dirigé vers l’extérieur du fil. Tracer [latex]T(r)[/latex].
3 – Size of marine mammals
- Establish the thermal diffusion equation in water (in spherical coordinates).
- Faire un bilan d’énergie sur un volume infinitésimal ou une boule creuse.
- Ascertain the temperature [latex]T(r)[/latex] around the animal in stationnary state.
- Résoudre l’équation précédente en régime stationnaire.
- Determine the thermal power lost by the mammal by integrating [latex]\vec{j}_\text{th}[/latex].
- La puissance perdue par l’animal est le flux thermique sortant de l’animal en [latex]r=R[/latex].
- Explain why there is no small aquatic mammal.
- Déterminer la puissance volumique produite par l’animal et montrer qu’elle est d’autant plus grande que l’animal est petit.
4 – Ailette de refroidissement
- Montrer que l’équation différentielle vérifiée par [latex]T(x)[/latex] peut se mettre sous la forme [latex]\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{T(x)-T_a}{L^2}=0[/latex] où on exprimera [latex]L[/latex] en fonction de [latex]\lambda[/latex], [latex]h[/latex] et [latex]e[/latex]. Calculer la valeur numérique de [latex]L[/latex].
- Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?
- Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en [latex]x[/latex] et en [latex]x+dx[/latex] et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.
- Justifier les deux conditions aux limites suivantes : [latex]T(0)=T_0[/latex] et [latex]-\lambda \frac{dT}{dx}(x=l) = h(T(l)-T_a)[/latex].
- Écrire la continuité du flux thermique en [latex]x=l[/latex].
- Exprimer [latex]T(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] et le mettre sous la forme : [latex]T(x)=T_1+T_2(\cosh(\frac{x}{L})-f(l,L,\lambda,h)\sinh(\frac{x}{L}))[/latex].
- Montrer que compte tenu de la longueur de l’ailette, la température de l’ailette est approximativement constante et égale à [latex]T_0[/latex] (on montrera que l’erreur relative commise sous cette hypothèse est inférieur à [latex]1\%[/latex]). On considère maintenant la température de l’ailette égale à [latex]T_0[/latex].
- Faire l’application numérique du terme en facteur de [latex]T_0[/latex].
- Calculer l’expression de la puissance thermique [latex]\mathcal{P}[/latex] échangée entre l’ailette et l’air.
- Déterminer la puissance thermique [latex]\mathcal{P}'[/latex] échangée entre le corps de température [latex]T_0[/latex] et l’air ambiant par la surface d’air [latex]S’=Avé[/latex] en l’absence d’ailette ([latex]S'[/latex] est la surface de la base de l’ailette). En déduire l’expression de l’efficacité [latex]\eta = \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}’}[/latex]. Calculer la valeur.
- Faire un bilan d’énergie sur un volume infinitésimal ou une boule creuse.
- Résoudre l’équation précédente en régime stationnaire.
- La puissance perdue par l’animal est le flux thermique sortant de l’animal en [latex]r=R[/latex].
- Déterminer la puissance volumique produite par l’animal et montrer qu’elle est d’autant plus grande que l’animal est petit.
- Montrer que l’équation différentielle vérifiée par [latex]T(x)[/latex] peut se mettre sous la forme [latex]\frac{d^2T}{dx^2}-\frac{T(x)-T_a}{L^2}=0[/latex] où on exprimera [latex]L[/latex] en fonction de [latex]\lambda[/latex], [latex]h[/latex] et [latex]e[/latex]. Calculer la valeur numérique de [latex]L[/latex].
- Faire un bilan d’énergie sur une tranche de longueur infinitésimale. Quels sont les 3 flux thermiques entrant dans cette tranche ?
- Dans une tranche infinitésimale d’ailette, de la puissance rentre par conduction en [latex]x[/latex] et en [latex]x+dx[/latex] et par conducto-convection sur les 4 parois latérales.
- Justifier les deux conditions aux limites suivantes : [latex]T(0)=T_0[/latex] et [latex]-\lambda \frac{dT}{dx}(x=l) = h(T(l)-T_a)[/latex].
- Écrire la continuité du flux thermique en [latex]x=l[/latex].
- Exprimer [latex]T(x)[/latex] en fonction de [latex]x[/latex] et le mettre sous la forme : [latex]T(x)=T_1+T_2(\cosh(\frac{x}{L})-f(l,L,\lambda,h)\sinh(\frac{x}{L}))[/latex].
- Montrer que compte tenu de la longueur de l’ailette, la température de l’ailette est approximativement constante et égale à [latex]T_0[/latex] (on montrera que l’erreur relative commise sous cette hypothèse est inférieur à [latex]1\%[/latex]). On considère maintenant la température de l’ailette égale à [latex]T_0[/latex].
- Faire l’application numérique du terme en facteur de [latex]T_0[/latex].
- Calculer l’expression de la puissance thermique [latex]\mathcal{P}[/latex] échangée entre l’ailette et l’air.
- Déterminer la puissance thermique [latex]\mathcal{P}'[/latex] échangée entre le corps de température [latex]T_0[/latex] et l’air ambiant par la surface d’air [latex]S’=Avé[/latex] en l’absence d’ailette ([latex]S'[/latex] est la surface de la base de l’ailette). En déduire l’expression de l’efficacité [latex]\eta = \frac{\mathcal{P}}{\mathcal{P}’}[/latex]. Calculer la valeur.