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1 – Resistance of a holed cylinder
- In which direction is [latex]\vec{j}[/latex] oriented ?
- Le courant va des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés.
- Why is the flux of [latex]\vec{j}[/latex] conservative ? By applying this on a cylinders of any radius [latex]r[/latex], deduce that [latex]\vec{j}=C/r\vec{e_r}[/latex] where [latex]C[/latex] is a constant that you will express as a function of [latex]I[/latex] and [latex]l[/latex].
- Laquelle des hypothèses de l’énoncé implique-t-elle que le régime est stationnaire ?
- Exprimer le courant à travers un cylindre de rayon [latex]r[/latex] et de hauteur [latex]l[/latex] en fonction de [latex]j[/latex], [latex]l[/latex] et [latex]r[/latex].
- By integrating the previous expression between [latex]R_1[/latex] and [latex]R_2[/latex] and using Ohm’s law, determine the resistance of the tube.
2 – Effet Hall
- Faire un bilan des forces s’exerçant sur un électron du conducteur ohmique.
- Le poids peut être négligé. La composante magnétique et la composante électrique de la force de Lorentz sont toutes deux non-nulles.
- En régime stationnaire, les lignes de courant sont suivant [latex]\vec{e_y}[/latex]. En déduire une expression de la composante [latex]E_x[/latex] du champ électrique suivant [latex]\vec{e_x}[/latex] en fonction de la charge [latex]e[/latex] d’un porteur, de leur densité [latex]n[/latex], de [latex]\vec{j}[/latex] et de [latex]\vec{B}[/latex].
- Projeter le théorème de la quantité de mouvement suivant [latex]\vec{e}_x[/latex].
- En déduire la différence de potentiel existant entre les faces [latex]x=-\frac{a}{2}[/latex] et [latex]x=\frac{a}{2}[/latex]. L’exprimer en fonction de [latex]I[/latex] et d’un paramètre qu’on notera [latex]R_\text{Hall}[/latex] et dont on donnera l’unité.
- Relier la circulation du champ électrique à la différence de potentiel.
- Évaluer la valeur de [latex]R_\text{Hall}[/latex] pour le champ magnétique terrestre dans le cas du cuivre ([latex]M_{\ce{Cu}}=\SI{63.5}{g.mol^{-1}}[/latex] ; [latex]\mu_{\ce{Cu}}=\SI{8.96}{g.cm^{-3}}[/latex]) \textbf{puis} d’un semi-conducteur de densité volumique de charges [latex]n=\SI{1.6e22}{m^{-3}}[/latex]. Est-il possible d’utiliser ce dispositif pour mesurer le champ magnétique terrestre dans les deux cas ?
3 – Paratonnerre
- [latex]\vec{j}[/latex] est-il à flux conservatif dans le sol ? En déduire la dépendance en [latex]r[/latex] de [latex]\vec{j}[/latex].
- Exprimer le courant passant dans une demi sphère dans le sol, de rayon [latex]r[/latex] en fonction de [latex]r[/latex] et [latex]j[/latex]. Ce courant dépend-il de [latex]r[/latex] ?
- En déduire l’expression de [latex]V(r)[/latex] en supposant que [latex]V[/latex] vaut [latex]0[/latex] à l’infini.
- Utiliser la loi d’Ohm locale.
- Déterminer la circulation du champ électrique entre [latex]r[/latex] et [latex]+\infty[/latex].
- Exprimer le potentien du paratonnerre en fonction du courant qui le parcourt et introduire la <
>.
- Que donne la relation précédente en prenant [latex]r=R[/latex] ?
- Cette résistance ne doit pas dépasse \SI{30}{\ohm}. Déterminer le rayon minimum de la demi-sphère.
- Pour un éclair, le courant peut atteindre \SI{300}{kA}. Tracer [latex]V(r)[/latex] et faire l’application numérique de [latex]V(R)[/latex].
- Une personne qui n’a pas les deux pieds à la même distance de la demi-sphère peut avoir ses pieds à un potentiel différent. Sachant que la résistance entre ses pieds est de l’ordre \SI{5}{k\ohm} et qu’un courant de \SI{25}{mA} à travers le corps peut être dangereux, calculer la distance minimum à laquelle un homme doit se tenir de la demi-sphère en cas d’orage. Comparer à la valeur proposée sur la photo et proposer une explication à l’éventuel écart.
- Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.
- Quelle distance [latex]d[/latex] y a-t-il typiquement entre deux pieds.
- Dans le pire des cas, les pieds sont <
> : leurs coordonnées [latex]r[/latex] sont séparées de [latex]d[/latex].
4 – Magnéto-résistance
- En reprenant le modèle de Drude, déterminer l’expression de la vitesse [latex]\vec{v}[/latex] des porteurs de charges puis [latex]\vec{j}[/latex].
- Écrire la seconde loi de Newton en régime stationnaire. Les forces sont la force de frottement fluide modélisant les chocs avec le réseau cristallin et la force de Lorentz (partie magnétique et partie électrique).
- Projeter la seconde loi de Newton selon [latex]r[/latex] et [latex]\theta[/latex]. Combiner ces équations pour isoler les composantes de [latex]\vec{v}[/latex] selon [latex]\vec{e}_r[/latex] et [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
- En utilisant la même méthode que dans l’exercice précédant, déterminer l’expression de la résistance [latex]R[/latex] du système.
- Exprimer la circulation de [latex]E[/latex] puis celle de [latex]j[/latex] entre [latex]R_1[/latex] et [latex]R_2[/latex].
- Relier la composante de [latex]\vec{j}[/latex] selon [latex]r[/latex] à [latex]I[/latex].
- Le courant va des potentiels les plus élevés vers les potentiels les moins élevés.
- Laquelle des hypothèses de l’énoncé implique-t-elle que le régime est stationnaire ?
- Exprimer le courant à travers un cylindre de rayon [latex]r[/latex] et de hauteur [latex]l[/latex] en fonction de [latex]j[/latex], [latex]l[/latex] et [latex]r[/latex].
- Faire un bilan des forces s’exerçant sur un électron du conducteur ohmique.
- Le poids peut être négligé. La composante magnétique et la composante électrique de la force de Lorentz sont toutes deux non-nulles.
- En régime stationnaire, les lignes de courant sont suivant [latex]\vec{e_y}[/latex]. En déduire une expression de la composante [latex]E_x[/latex] du champ électrique suivant [latex]\vec{e_x}[/latex] en fonction de la charge [latex]e[/latex] d’un porteur, de leur densité [latex]n[/latex], de [latex]\vec{j}[/latex] et de [latex]\vec{B}[/latex].
- Projeter le théorème de la quantité de mouvement suivant [latex]\vec{e}_x[/latex].
- En déduire la différence de potentiel existant entre les faces [latex]x=-\frac{a}{2}[/latex] et [latex]x=\frac{a}{2}[/latex]. L’exprimer en fonction de [latex]I[/latex] et d’un paramètre qu’on notera [latex]R_\text{Hall}[/latex] et dont on donnera l’unité.
- Relier la circulation du champ électrique à la différence de potentiel.
- Évaluer la valeur de [latex]R_\text{Hall}[/latex] pour le champ magnétique terrestre dans le cas du cuivre ([latex]M_{\ce{Cu}}=\SI{63.5}{g.mol^{-1}}[/latex] ; [latex]\mu_{\ce{Cu}}=\SI{8.96}{g.cm^{-3}}[/latex]) \textbf{puis} d’un semi-conducteur de densité volumique de charges [latex]n=\SI{1.6e22}{m^{-3}}[/latex]. Est-il possible d’utiliser ce dispositif pour mesurer le champ magnétique terrestre dans les deux cas ?
3 – Paratonnerre
- [latex]\vec{j}[/latex] est-il à flux conservatif dans le sol ? En déduire la dépendance en [latex]r[/latex] de [latex]\vec{j}[/latex].
- Exprimer le courant passant dans une demi sphère dans le sol, de rayon [latex]r[/latex] en fonction de [latex]r[/latex] et [latex]j[/latex]. Ce courant dépend-il de [latex]r[/latex] ?
- En déduire l’expression de [latex]V(r)[/latex] en supposant que [latex]V[/latex] vaut [latex]0[/latex] à l’infini.
- Utiliser la loi d’Ohm locale.
- Déterminer la circulation du champ électrique entre [latex]r[/latex] et [latex]+\infty[/latex].
- Exprimer le potentien du paratonnerre en fonction du courant qui le parcourt et introduire la <
>.
- Que donne la relation précédente en prenant [latex]r=R[/latex] ?
- Cette résistance ne doit pas dépasse \SI{30}{\ohm}. Déterminer le rayon minimum de la demi-sphère.
- Pour un éclair, le courant peut atteindre \SI{300}{kA}. Tracer [latex]V(r)[/latex] et faire l’application numérique de [latex]V(R)[/latex].
- Une personne qui n’a pas les deux pieds à la même distance de la demi-sphère peut avoir ses pieds à un potentiel différent. Sachant que la résistance entre ses pieds est de l’ordre \SI{5}{k\ohm} et qu’un courant de \SI{25}{mA} à travers le corps peut être dangereux, calculer la distance minimum à laquelle un homme doit se tenir de la demi-sphère en cas d’orage. Comparer à la valeur proposée sur la photo et proposer une explication à l’éventuel écart.
- Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.
- Quelle distance [latex]d[/latex] y a-t-il typiquement entre deux pieds.
- Dans le pire des cas, les pieds sont <
> : leurs coordonnées [latex]r[/latex] sont séparées de [latex]d[/latex].
4 – Magnéto-résistance
- En reprenant le modèle de Drude, déterminer l’expression de la vitesse [latex]\vec{v}[/latex] des porteurs de charges puis [latex]\vec{j}[/latex].
- Écrire la seconde loi de Newton en régime stationnaire. Les forces sont la force de frottement fluide modélisant les chocs avec le réseau cristallin et la force de Lorentz (partie magnétique et partie électrique).
- Projeter la seconde loi de Newton selon [latex]r[/latex] et [latex]\theta[/latex]. Combiner ces équations pour isoler les composantes de [latex]\vec{v}[/latex] selon [latex]\vec{e}_r[/latex] et [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
- En utilisant la même méthode que dans l’exercice précédant, déterminer l’expression de la résistance [latex]R[/latex] du système.
- Exprimer la circulation de [latex]E[/latex] puis celle de [latex]j[/latex] entre [latex]R_1[/latex] et [latex]R_2[/latex].
- Relier la composante de [latex]\vec{j}[/latex] selon [latex]r[/latex] à [latex]I[/latex].
- Exprimer le courant passant dans une demi sphère dans le sol, de rayon [latex]r[/latex] en fonction de [latex]r[/latex] et [latex]j[/latex]. Ce courant dépend-il de [latex]r[/latex] ?
- Utiliser la loi d’Ohm locale.
- Déterminer la circulation du champ électrique entre [latex]r[/latex] et [latex]+\infty[/latex].
- Que donne la relation précédente en prenant [latex]r=R[/latex] ?
- Calculer la différence de potentiel maximale admissible entre deux pieds d’un être humain.
- Quelle distance [latex]d[/latex] y a-t-il typiquement entre deux pieds.
- Dans le pire des cas, les pieds sont <
- En reprenant le modèle de Drude, déterminer l’expression de la vitesse [latex]\vec{v}[/latex] des porteurs de charges puis [latex]\vec{j}[/latex].
- Écrire la seconde loi de Newton en régime stationnaire. Les forces sont la force de frottement fluide modélisant les chocs avec le réseau cristallin et la force de Lorentz (partie magnétique et partie électrique).
- Projeter la seconde loi de Newton selon [latex]r[/latex] et [latex]\theta[/latex]. Combiner ces équations pour isoler les composantes de [latex]\vec{v}[/latex] selon [latex]\vec{e}_r[/latex] et [latex]\vec{e}_\theta[/latex].
- En utilisant la même méthode que dans l’exercice précédant, déterminer l’expression de la résistance [latex]R[/latex] du système.
- Exprimer la circulation de [latex]E[/latex] puis celle de [latex]j[/latex] entre [latex]R_1[/latex] et [latex]R_2[/latex].
- Relier la composante de [latex]\vec{j}[/latex] selon [latex]r[/latex] à [latex]I[/latex].