Physique des ondes – Phénomènes de propagation non dispersifs : équation de d’Alembert

1 – Corde vibrante conductrice

1. Établir l’équation du mouvement de la corde sous la forme
   $\frac{\partial^2 z}{\partial t^2}-c^2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=\frac{i_0 B_0}{\mu}\cos(\omega t)\sin(\frac{\pi x}{L})$
   où $c$ est une constante à exprimer en fonction des données de l’énoncé.
   • Reprendre la démonstration de l’équation de d’Alembert avec cette fois-ci la force de Laplace en plus.
2. On cherche une solution en $z(x,t)=z_0\sin(\frac{\pi x}{L})\cos(\omega t)$ en régime sinusoïdal forcé. Commenter le choix de cette expression.
   • Cette onde est-elle une onde stationnaire ou progressive ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ?
3. Déterminer l’expression de $z_0$. Que se passe-t-il quand $\omega$ tend vers $\frac{\pi c}{L}$ ? La modélisation du phénomène est-elle toujours valable ? Expliquer.
   • Introduire l’expression de $z$ dans l’équation d’onde.
   • Les hypothèses faire pour établir l’équation d’onde sont-elles compatibles avec une amplitude qui diverge ?

2 – Câble coaxial alimenté par un générateur

1. Ascertain the voltage wave $u(x,t)$ and the current wave $i(x,t)$.
   • Deux possibilités : soit chercher les solutions sous la forme $f(x)g(t)$ (milieu fini), soit sous la forme d’une onde incidente plus une onde réfléchie.
   • Quelles sont les conditions aux limites en $x=0$ ? en $x=L$ ?
2. For some values of $\omega$, the amplitude of $u$ and $i$ are very important. Explain why and for determine the values of $\omega$ for which this happens.

3 – Modèle d’une clarinette

1. Pourquoi modéliser l’onde sonore par une onde stationnaire ?
   • Le milieu est-il fini, semi-infini ou infini ? Dans un tel milieu, sous quelle forme cherche-t-on des solutions de manière privilégiée ?
2. Établir l’expression du champ de vitesse dans la clarinette. A-t-on $P(x,t)=Zv(x,t)$, où $Z=\rho_0c$ ?
   • Écrire l’équation mécanique liant la surpression à la vitesse.
3. Quelles sont les deux conditions aux limites imposées par l’atmosphère ?
   • Attention, dans cet exercice, $P$ désigne la surpression et pas la pression comme dans le cours.
   • Écrire la condition d’adhérence en $x=0$ et la continuité de la pression en $x=l$.
4. Établir quelles pulsations peuvent être jouées avec cet instrument.
   • Quelles valeurs de $k$ sont possible avec la condition aux limites sur la surpression en $x=l$ ?
   • Relier $k$ à $\omega$ grâce à la relation de dispersion.
5. La note fondamentale d’une flute de longueur $l$ est $\omega_f=\frac{\pi c}{l}$. Comparer la hauteur de son d’une flute et d’une clarinette de même longueur.
   • La fondamentale est la plus petite fréquence ($n=1$).

4 – Modes propres dans une cavité sphérique

1. Que représente chacun des termes de $P(r,t)$ ?
   • Pour chaque terme, est-ce une onde stationnaire ou progressive . harmonique ou non ? sphérique, cylindrique ou plane ?
2. Déterminer le champ des vitesses $\underline{v}$ associé à l’onde ?
   • Attention, les ondes ne sont pas des OPPH, on ne peut pas utiliser l’impédance acoustique.
   • Utiliser la relation mécanique liant la surpression et la vitesse.
3. Établir le lien entre $\omega_1$ et $\omega_2$ puis $A$ et $B$. En déduire $\underline{v}$.
   • Écrire la condition d’adhérence en $r=R$.
   • Isoler les fonctions de $t$ d’un côté du signe égal.
4. En supposant que la surpression ne diverge pas en $0$, montrer que $-2kR=\arctan\frac{2kR}{1-k^2R^2}$. Comment déterminer graphiquement les valeurs de $k$ possibles ?

5 – Cavité électromagnétique à une dimension

1. Établir l’équation de propagation pour $\vec{E}$ dans le vide.
2. On cherche des solutions à variables séparables : $\vec{E}=f(x)g(t)\vec{u_y}$. Établir les équations différentielles $f »(x)=\alpha f(x)$ et $g »(t)=\alpha c^2 g(t)$, où $\alpha$ est une constante inconnue à ce stade.
   • Remplacer $\vec{E}$ par $f(x)g(t)\vec{e_y}$ dans l’équation de d’Alembert et séparer les variables.
3. Quelles sont les conditions aux limites.
   • Dans un conducteur parfait, le champ électrique est nul. De plus, la composante tangente à l’interface du champ électrique est continue.
4. Déterminer $f(x)$. L’exprimer sous la forme d’une fonction de $kx$ où $k$ est une constante qui dépend de $\alpha$ et d’un entier $n$.
   • L’équation différentielle sur $f$ a trois familles de solutions. Parmi elles, quelle est la seule admettant des solutions non nulles compatibles avec les conditions aux limites ?
   • Quelle contrainte sur $k$ imposent les conditions aux limites ?
5. En déduire l’expression de $\vec{E}$ en fonction de $k$ , d’une constante multiplicative près notée $E_0$ et d’une phase $\varphi$.
   • Quelles sont les solutions de l’équation différentielle sur $g$ ?
6. Quelle est l’analogue mécanique de ce problème électromagnétique ?
   • Penser à un système où on a également des modes propres quantifiés à cause de deux conditions aux limites strictes.
7. Établir l’expression du champ magnétique $\vec{B}$. Que dire des points où $\vec{B}$ est constamment nul, par rapport à ceux où $\vec{E}$ est constamment nul ?
   • La relation de structure, démontrée pour une OPPH, ne peut pas être utilisée ici.
   • Quelle équation de Maxwell permettrait de déterminer $\vec{B}$ ?
   • Utiliser l’équation de Maxwell-Faraday.